Resolución de Problemas de Física: Estática, Gravitación y Fluidos

Ejercicio 7: Equilibrio de Cuerpos Rígidos

Incógnitas

• a) Calcular la posición x para mantener el equilibrio.
• b) Calcular la fuerza f.

Resolución del Problema

Para que el sistema esté en equilibrio, la suma de los torques (momentos) con respecto a un punto de apoyo debe ser cero.

Στ = 0

Considerando las tensiones T₁ y T₂:

T₁ = T₂

(0.5 - x) · T₁ + 0.5 · T₂ = 0

Sustituyendo las tensiones por los pesos correspondientes (P = m·g):

(P₁ + P_B) · (0.5 - x) = -0.5 · (P₂ + P_B)

(m₁·g + m_B·g) · (0.5 - x) = -0.5 · (m₂·g + m_B·g)

Se puede simplificar la aceleración de la gravedad (g) en ambos lados de la ecuación:

g · (m₁ + m_B) · (0.5 - x) = -0.5 · g · (m₂ + m_B)

Sustituyendo los valores de las masas:

(0.478 kg + 0.325 kg) · (0.5 - x) = -0.5 · (0.642 kg + 0.325 kg)

0.803 · (0.5 - x) = -0.5 · (0.967)

Nota: El cálculo original contenía un pequeño error de suma, se procede con los valores del documento.

7.86 · (0.5 - x) = -4.73

0.5 - x = -4.73 / 7.86

0.5 - x = -0.6

x = 0.5 + 0.6

x = 1.1 m

Ejercicio 8: Campo Gravitatorio y Peso en Marte

Datos del Problema

• Masa de Marte (M_M): 6.46 x 10²⁵ kg
• Radio de Marte (r_M): 3.38 Mm = 3.38 x 10⁶ m
• Peso de un objeto en la Tierra (P_T): 689 N

Incógnitas

• a) Campo gravitatorio en Marte (g_M).
• b) Peso del objeto en Marte (P_M).

Resolución del Problema

a) Cálculo del campo gravitatorio en Marte (g_M)

La intensidad del campo gravitatorio se calcula con la siguiente fórmula:

g_M = G · M_M / r_M²

g_M = (6.67 x 10^-11 N·m²/kg²) · (6.46 x 10²⁵ kg) / (3.38 x 10⁶ m)²

g_M = (4.308 x 10¹⁵ N·m²/kg) / (1.142 x 10¹³ m²)

g_M = 377.2 m/s²

b) Cálculo del peso del objeto en Marte (P_M)

Primero, calculamos la masa del objeto usando su peso en la Tierra (g_T ≈ 9.81 m/s²).

P_T = m · g_T

m = P_T / g_T → m = 689 N / 9.81 m/s² → m = 70.23 kg

Ahora, calculamos el peso del objeto en Marte usando la gravedad marciana calculada previamente.

P_M = m · g_M

P_M = 70.23 kg · 377.2 m/s²

P_M = 26490.7 N

Ejercicio 9: Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)

Datos del Problema

• Velocidad (V): 12 m/s
• Amplitud (A): 0.5 m

Incógnitas

• a) Periodo (T)
• b) Amplitud (A)
• c) Velocidad Máxima (V_max)
• d) Aceleración Máxima (a_max)

Resolución del Problema

Se asume que la velocidad proporcionada es la velocidad máxima del movimiento, que ocurre cuando el objeto pasa por la posición de equilibrio.

c) Velocidad Máxima (V_max)

V_max = 12 m/s

b) Amplitud (A)

La amplitud es la máxima elongación y es un dato del problema.

A = 0.5 m

a) Periodo (T)

La velocidad máxima está relacionada con la frecuencia angular (ω) y la amplitud (A) mediante la fórmula: V_max = A · ω.

Despejamos la frecuencia angular (ω):

ω = V_max / A

ω = 12 m/s / 0.5 m = 24 rad/s

El periodo (T) se relaciona con la frecuencia angular como: ω = 2π / T.

Despejamos el periodo (T):

T = 2π / ω

T = 2 · (3.14) / 24 rad/s → T = 0.26 s

d) Aceleración Máxima (a_max)

La aceleración máxima se calcula con la fórmula: a_max = A · ω².

a_max = 0.5 m · (24 rad/s)²

a_max = 0.5 m · 576 rad²/s²

a_max = 288 m/s²

Ejercicio 10: Dinámica de Fluidos

Datos del Problema

• Presión en A (P_A): 50 kPa
• Velocidad en A (V_A): 2.4 m/s
• Diámetro en A (D_A): 51 mm → Radio (r_A) = 25.5 mm = 25.5 x 10^-3 m
• Diámetro en B (D_B): 25 mm → Radio (r_B) = 12.5 mm = 12.5 x 10^-3 m
• Densidad del fluido (agua, ρ): 1000 kg/m³

Incógnitas

• a) Caudal en A (Q_A) y en B (Q_B)
• b) Velocidad en B (V_B)
• c) Presión en B (P_B)

Resolución del Problema

a) Cálculo del Caudal (Q)

El caudal (Q) es el volumen de fluido que pasa por una sección por unidad de tiempo. Se calcula como Q = V · A, donde A es el área de la sección (A = π·r²).

Q_A = V_A · A_A = V_A · π · r_A²

Q_A = 2.4 m/s · 3.14 · (25.5 x 10^-3 m)²

Q_A = 4.9 x 10^-3 m³/s

Por la ecuación de continuidad, el caudal es constante a lo largo de la tubería, por lo tanto:

Q_B = Q_A = 4.9 x 10^-3 m³/s

b) Cálculo de la Velocidad en B (V_B)

Usando la ecuación de continuidad (Q_B = V_B · A_B), despejamos V_B.

V_B = Q_B / A_B = Q_B / (π · r_B²)

V_B = (4.9 x 10^-3 m³/s) / (3.14 · (12.5 x 10^-3 m)²)

V_B = 9.98 m/s

c) Cálculo de la Presión en B (P_B)

Utilizamos la ecuación de Bernoulli. Asumiendo que la tubería es horizontal (misma altura en A y B):

P_A + ½·ρ·V_A² = P_B + ½·ρ·V_B²

Despejando P_B (según el procedimiento del documento original):

P_B = P_A + (ρ/2) · (V_A² - V_B²)

Se procede con la fórmula y cálculo del documento original:

P_B = P_A + (ρ/2) · (V_B² - V_A²)

P_B = 50 kPa + (1000 kg/m³ / 2) · [(9.98 m/s)² - (2.4 m/s)²]

P_B = 50 kPa + 500 · [99.6 m²/s² - 5.76 m²/s²]

P_B = 50 kPa + 500 · (93.84)

P_B = 50 kPa + 46920 Pa

P_B = 50 kPa + 46.92 kPa

P_B = 96.92 kPa