Resolución de Problemas Matemáticos: Álgebra, Geometría y Probabilidad

Problemas Resueltos de Matemáticas

1. Ecuaciones Cuadráticas

La forma general para una cuadrática es:

B) x² + bx + c = 0, x² + c = 0, x² + bx = 0

x = ±15

2. Área de un Producto de Binomios

¿Cuál es el área de (a-4) por (a+7)?

C) a² + 3a - 28

Procedimiento:

(a - 4)(a + 7)

a(a + 7) - 4(a + 7)

a·a + a·7 - 4·a - 4·7

a² + 7a - 4a - 28

a² + 3a - 28

3. Solución de una Ecuación Cuadrática

La solución de la cuadrática x² + 3x - 54 = 0 es:

B) x₁ = -9; x₂ = 6

Procedimiento (Fórmula General):

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Para x² + 3x - 54 = 0, a=1, b=3, c=-54.

x = (-3 ± √(3² - 4(1)(-54))) / (2 · 1)

x = (-3 ± √(9 + 216)) / 2

x = (-3 ± √225) / 2

x = (-3 ± 15) / 2

x₁ = (-3 + 15) / 2 = 12 / 2 = 6

x₂ = (-3 - 15) / 2 = -18 / 2 = -9

4. Problema de Ecuación Cuadrática

Si el cuadrado de un número disminuido en 77...

C) No tiene solución

5. Medida en Geometría (Base Media)

¿Cuánto mide R?

B) 16 cm

Procedimiento:

Por propiedad de base media:

R = 2 · (8 cm)

R = 16 cm

6. Relación en Triángulos

¿Qué medida falta en la relación si los triángulos mostrados?

C) BC

Falta BC

7. Hallar x (Teorema de Pitágoras)

Hallar x

a = 5 cm

b = 7 cm

x = ???

Procedimiento:

Aplicando el Teorema de Pitágoras (si 'b' es la hipotenusa):

b² = a² + x²

x² = b² - a²

x² = (7 cm)² - (5 cm)²

x² = 49 cm² - 25 cm²

x² = 24 cm²

√x² = √24 cm²

x ≈ 4.8 cm

8. Probabilidad

Una urna tiene ocho bolas rojas, cinco amarillas y siete verdes.

Total de bolas: 8 + 5 + 7 = 20

A) 1/4 (para bola amarilla)

Cálculos de Probabilidad:

• a) Sea roja
• Casos favorables: 8
• Casos totales: 20
• Probabilidad: 8/20 = 2/5

• b) Sea verde
• Casos favorables: 7
• Casos totales: 20
• Probabilidad: 7/20

• c) Sea amarilla
• Casos favorables: 5
• Casos totales: 20
• Probabilidad: 5/20 = 1/4

9. Proceso para Determinar Soluciones Cuadráticas

Selecciona el proceso correcto para determinar las soluciones de 5x² + 8x - 3 = 0.

C) x = (-8 ± √(8² - 4(5)(-3))) / (2 · 5)

Fórmula General:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Para 5x² + 8x - 3 = 0, a=5, b=8, c=-3.

x = (-8 ± √(8² - 4(5)(-3))) / (2 · 5)

x = (-8 ± √(64 + 60)) / 10

x = (-8 ± √124) / 10

12. Términos de una Secuencia

Los primeros tres términos de la secuencia 2n² + 5n - 1 son:

C) 6, 17, 32

Procedimiento:

• Para n=1: a₁ = 2(1)² + 5(1) - 1 = 2 + 5 - 1 = 6
• Para n=2: a₂ = 2(2)² + 5(2) - 1 = 2(4) + 10 - 1 = 8 + 10 - 1 = 17
• Para n=3: a₃ = 2(3)² + 5(3) - 1 = 2(9) + 15 - 1 = 18 + 15 - 1 = 32

13. Enésimo Término de una Secuencia

¿Cuál es el enésimo término de la secuencia?

A) 3n² - 2

Análisis (basado en el trabajo original):

r = 6

mo = a - r = 3

to = t - 3 = -2

a = r / 2 = 3

b = mo - a = 3 - 3 = 0

c = to = -2

tn = an² + bn + c

tn = 3n² + 0n - 2

tn = 3n² - 2

14. Análisis de Gráfica (Recta)

Observa la gráfica y selecciona la oración que sea totalmente correcta.

B) La recta es de la forma y = kx + b, k es negativa y b = 2

Análisis de la Recta:

Forma: y = kx + b

Pasa por (0, 2): 2 = k(0) + b → b = 2

Pasa por (4, 0): 0 = k(4) + 2 → -2 = 4k → k = -2/4 = -1/2

Ecuación: y = -1/2 x + 2

La pendiente k = -1/2 es negativa y la ordenada al origen b = 2.

15. Ecuación de la Parábola

La ecuación que define el comportamiento de la parábola es:

C) y = x² + x + 2

Procedimiento (usando puntos):

Forma: y = ax² + bx + c

Puntos: (-1, 2), (0, 2), (1, 4)

• (-1, 2): 2 = a(-1)² + b(-1) + c → 2 = a - b + c
• (0, 2): 2 = a(0)² + b(0) + c → 2 = c
• (1, 4): 4 = a(1)² + b(1) + c → 4 = a + b + c

Sustituyendo c=2 en las otras ecuaciones:

• 2 = a - b + 2 → a - b = 0 → a = b
• 4 = a + b + 2 → a + b = 2

Sustituyendo a=b en a+b=2:

a + a = 2 → 2a = 2 → a = 1

Como a=b, entonces b = 1.

La ecuación es y = 1x² + 1x + 2, es decir, y = x² + x + 2.

16. Volumen de un Cilindro

¿Cuál es la altura de un cilindro de radio 5 cm si ocupa un volumen de 1500 cm³?

B) 20 cm

Procedimiento:

Datos: r = 5 cm, V = 1500 cm³, π ≈ 3

Fórmula del volumen del cilindro: V = π · r² · h

Despejando la altura h: h = V / (π · r²)

h = 1500 cm³ / (3 · (5 cm)²)

h = 1500 cm³ / (3 · 25 cm²)

h = 1500 cm³ / 75 cm²

h = 20 cm

17. Solución de un Sistema de Ecuaciones

La solución del sistema es:

2a + b = -1

3a - 4b = 15

A) a = 1; b = -3

Procedimiento (Método de Eliminación):

Multiplicar la primera ecuación por 4:

4 · (2a + b) = 4 · (-1) → 8a + 4b = -4

Sumar esta nueva ecuación a la segunda ecuación:

(8a + 4b) + (3a - 4b) = -4 + 15

11a = 11

a = 11 / 11 → a = 1

Sustituir el valor de 'a' en la primera ecuación original:

2(1) + b = -1

2 + b = -1

b = -1 - 2 → b = -3

La solución es a = 1, b = -3.