Resolución de Problemas Matemáticos Aplicados: Casos de Negocio y Probabilidad

Resolución de Problemas Matemáticos Aplicados

Este documento presenta la resolución detallada de tres casos prácticos que abordan diferentes conceptos matemáticos: proporcionalidad directa, funciones lineales y probabilidad. Cada caso ilustra la aplicación de estas herramientas en contextos empresariales y de la vida real, facilitando la comprensión de su utilidad y relevancia.

Caso 1: Distribución de Pagos en Desforestación

Este problema se centra en la distribución proporcional de un pago total entre dos brigadas, basándose en los días de trabajo acumulados por cada una.

Cálculo de Días de Trabajo

• Primera brigada: 12 operarios × 8 días = 96 días de trabajo a pagar.
• Segunda brigada: 15 operarios × 10 días = 150 días de trabajo a pagar.
• Total de días: 96 + 150 = 246 días.

Distribución Proporcional del Pago

Utilizando la regla de tres simple directa, si por el total de 246 días se cobran 6.888 €, la distribución es la siguiente:

• Pago a la primera brigada: (96 días × 6.888 €) / 246 días = 2.688 €.
• Pago a la segunda brigada: (150 días × 6.888 €) / 246 días = 4.200 €.

Cálculo de Precios Unitarios

• Precio por día para la primera brigada: 2.688 € / 8 días = 336 €/día.
• Precio por día para la segunda brigada: 4.200 € / 10 días = 420 €/día.
• Precio por operario de la primera brigada por día: 336 € / 12 operarios = 28 €/día.
• Precio por operario de la segunda brigada por día: 420 € / 15 operarios = 28 €/día.

Resumen Financiero

La suma de los pagos a ambas brigadas es 2.688 € + 4.200 € = 6.888 €.

Considerando los ingresos y costes:

• Ingresos (Inmosueños SA): 12.380 €
• Costes (Desforestal SA): 6.888 €
• Beneficio (antes de impuestos): 12.380 € - 6.888 € = 5.492 €.

Caso 2: Modelos de Suscripción de Biblioteca

Este caso compara tres modelos de suscripción a una biblioteca, representados por funciones lineales, para determinar cuál es el más ventajoso según la cantidad de libros prestados.

Funciones de Coste

• Opción A: A(x) = 0,4x
• Opción B: B(x) = 2 + 0,30x
• Opción C: C(x) = 5 + 0,15x

Donde 'x' representa el número de libros prestados.

Análisis de Ventaja por Cantidad de Libros

Para una mejor comprensión, se recomienda la visualización mediante gráficos de estas funciones.

• Si se piden prestados menos de 20 libros, la opción más ventajosa es A, seguida de B y después C.
• Con 20 libros, la fórmula más ventajosa es C, seguida de [B] y de A.

Caso 3: Probabilidad de Morosidad en CaixaBank

Este problema aborda el cálculo de probabilidades condicionales en el contexto de la morosidad de clientes bancarios, utilizando el concepto de probabilidad total y el teorema de Bayes.

Definición de Sucesos y Datos Iniciales

El experimento aleatorio consiste en elegir al azar a un cliente del banco que tenga tarjeta de crédito. Se definen los siguientes sucesos:

• M: El cliente es moroso.
• A: El cliente se ha atrasado en el pago mensual de la tarjeta (incluye a los morosos).

Los sucesos M (moroso) y M^c (no moroso) forman un sistema completo de sucesos.

Reescribimos los datos proporcionados por el enunciado en términos de probabilidades:

• P(M) = 0.05 (5%)
• P(A|M^c) = 0.2 (20%) - Probabilidad de atraso dado que NO es moroso.
• P(A|M) = 1 (100%) - Probabilidad de atraso dado que SÍ es moroso.

Cálculo de Probabilidades

Probabilidad de Atraso Mensual P(A)

Calculamos la probabilidad de que un cliente se atrase en el pago mensual, P(A), utilizando la ley de probabilidad total:

P(A) = P(A|M^c) × P(M^c) + P(A|M) × P(M)

P(A) = (0.95 × 0.2) + (1 × 0.05) = 0.19 + 0.05 = 0.24 (24%)

Probabilidad de Ser Moroso Dado un Atraso P(M|A)

Nos piden calcular la probabilidad de que un cliente, entre los que se atrasan en el pago mensual, sea realmente un moroso. Llamamos a esta probabilidad P(M|A). Aprovechamos el diagrama de árbol y las probabilidades calculadas. P(M|A) será el peso que tiene la ruta de "moroso y atraso" respecto a la suma de las dos rutas que llevan a "atraso" (moroso y atraso, no moroso y atraso).

P(M|A) = P(A ∩ M) / P(A) = (P(A|M) × P(M)) / P(A)

P(M|A) = (0.05 × 1) / (0.95 × 0.2 + 1 × 0.05) = 0.05 / 0.24 ≈ 0.2083 (aproximadamente 21%)

Conclusión y Recomendación

La probabilidad de que un cliente que se atrasa en un pago sea realmente un caso de morosidad es aproximadamente del 21%. Este porcentaje es menor que el 25% que establece el banco como umbral para la cancelación de cuentas.

Por lo tanto, basándose en este cálculo probabilístico, no debería cancelarse la cuenta de un cliente que se atrasase en un pago, ya que la mayoría de los atrasos no corresponden a casos de morosidad.