Resolución de Problemas de Probabilidad: Casos Prácticos y Teoremas Fundamentales

Problema 1: Probabilidad en el Ámbito Laboral y Uso de Ordenadores

En una empresa, el 65% de la plantilla son hombres. Definimos los siguientes sucesos:

• H: Elegir una persona al azar que sea hombre.
• M: Elegir una persona al azar que sea mujer.
• O: Elegir una persona al azar que utilice el ordenador.

Las probabilidades indicadas en el enunciado son:

• P(H) = 0.65
• P(O|H) = 0.8 (probabilidad de que una persona utilice el ordenador dado que es hombre)
• P(O) = 0.835 (probabilidad total de que una persona utilice el ordenador)

De estos datos, podemos deducir:

• P(M) = 1 - P(H) = 1 - 0.65 = 0.35
• P(Oᶜ|H) = 1 - P(O|H) = 1 - 0.8 = 0.2 (probabilidad de que una persona no utilice el ordenador dado que es hombre)

Cálculo de la Probabilidad de un Hombre que No Usa Ordenador

La probabilidad de que una persona de la empresa, elegida al azar, sea un hombre que no utiliza el ordenador es:

P(H ∩ Oᶜ) = P(H) · P(Oᶜ|H) = 0.65 · 0.2 = 0.13

Determinación de la Probabilidad de que una Mujer Use Ordenador

Llamemos x = P(O|M) a la probabilidad de que una mujer utilice el ordenador.

Según el Teorema de la Probabilidad Total, tenemos:

P(O) = P(H) · P(O|H) + P(M) · P(O|M)

Sustituyendo los valores conocidos:

0.835 = 0.65 · 0.8 + 0.35 · x

0.835 = 0.52 + 0.35 · x

Despejando x:

0.35 · x = 0.835 - 0.52

0.35 · x = 0.315

x = 0.315 / 0.35 = 0.9

De aquí se deduce que la probabilidad de que, elegida una mujer, esta utilice el ordenador, es P(O|M) = 0.9.

Problema 2: Hábitos de Lectura de Diarios en una Ciudad

En una ciudad, el 40% de sus habitantes lee el diario. Consideramos los siguientes sucesos:

• A: Leer el diario A.
• B: Leer el diario B.

Los datos proporcionados son:

• P(A) = 40% = 0.4
• P(B) = 25% = 0.25
• P(A∪B) = 50% = 0.5 (probabilidad de leer el diario A o el diario B)

Análisis de Independencia y Probabilidades Condicionales

1. Verificación de Independencia de Sucesos (A y B)

   Para verificar si A y B son sucesos independientes, debemos comprobar si P(A∩B) = P(A) · P(B).

   Utilizando la fórmula de la probabilidad de la unión de sucesos:

   P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

   Sustituyendo los valores conocidos:

   0.5 = 0.4 + 0.25 - P(A∩B)

   0.5 = 0.65 - P(A∩B)

   Despejando P(A∩B):

   P(A∩B) = 0.65 - 0.5 = 0.15

   Ahora, calculamos el producto de las probabilidades individuales:

   P(A) · P(B) = 0.4 · 0.25 = 0.1

   Dado que P(A∩B) = 0.15 ≠ P(A) · P(B) = 0.1, los sucesos A y B no son independientes.

2. Probabilidad de Leer el Diario B Dado que se Lee el Diario A

   Se nos pide calcular P(B|A) en porcentaje:

   P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 0.15 / 0.4 = 0.375 = 37.5%

3. Probabilidad de Leer Ambos Diarios Dado que se Lee al Menos Uno

   Se nos pide calcular P(A∩B | A∪B) en porcentaje:

   P(A∩B | A∪B) = P((A ∩ B) ∩ (A ∪ B)) / P(A∪B)

   Dado que (A ∩ B) es un subconjunto de (A ∪ B), la intersección (A ∩ B) ∩ (A ∪ B) es simplemente (A ∩ B).

   Por lo tanto:

   P(A∩B | A∪B) = P(A∩B) / P(A∪B) = 0.15 / 0.5 = 0.3 = 30%

4. Probabilidad de Leer el Diario B Dado que NO se Lee el Diario A

   Se nos pide calcular P(B|Aᶜ) en porcentaje:

   P(B|Aᶜ) = P(B ∩ Aᶜ) / P(Aᶜ)

   Sabemos que P(B ∩ Aᶜ) = P(B) - P(A∩B) y P(Aᶜ) = 1 - P(A).

   Sustituyendo los valores:

   P(B|Aᶜ) = (0.25 - 0.15) / (1 - 0.4) = 0.10 / 0.60 = 1/6 ≈ 0.1667 = 16.67%

Problema 3: Estudiantes Universitarios y Becas

En una universidad española, el 30% de los estudiantes son extranjeros. Definimos los siguientes sucesos:

• Es: Ser estudiante español.
• Ex: Ser estudiante extranjero.
• B: Estar becado.
• Bᶜ: No estar becado.

Los datos del problema son:

• P(Ex) = 30% = 0.3
• P(B|Ex) = 15% = 0.15 (probabilidad de estar becado dado que es extranjero)
• P(B|Es) = 8% = 0.08 (probabilidad de estar becado dado que es español)

De estos datos, podemos deducir:

• P(Es) = 1 - P(Ex) = 1 - 0.3 = 0.7
• P(Bᶜ|Es) = 1 - P(B|Es) = 1 - 0.08 = 0.92 (probabilidad de no estar becado dado que es español)

Cálculos de Probabilidad Relacionados con Becas

1. Probabilidad de Ser Español y No Tener Beca

   La probabilidad de que un estudiante sea español y no tenga beca es:

   P(Es ∩ Bᶜ) = P(Es) · P(Bᶜ|Es) = 0.7 · 0.92 = 0.644

2. Probabilidad de Ser Extranjero Dado que se Tiene Beca

   Primero, aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total para calcular la probabilidad de que un estudiante esté becado (P(B)):

   P(B) = P(Ex) · P(B|Ex) + P(Es) · P(B|Es)

   P(B) = (0.3) · (0.15) + (0.7) · (0.08)

   P(B) = 0.045 + 0.056 = 0.101

   Ahora, para calcular la probabilidad de que un estudiante sea extranjero dado que tiene beca, utilizamos el Teorema de Bayes:

   P(Ex|B) = P(Ex ∩ B) / P(B)

   Sabemos que P(Ex ∩ B) = P(Ex) · P(B|Ex).

   Por lo tanto:

   P(Ex|B) = (P(Ex) · P(B|Ex)) / P(B) = (0.3) · (0.15) / 0.101 = 0.045 / 0.101 ≈ 0.4455