Resolución de Problemas de Probabilidad Condicional y Teoremas Fundamentales

Corrección y Estructuración de Ejercicios de Probabilidad

A continuación, se presenta la corrección y estructuración del documento original, mejorando la claridad, ortografía y formato, manteniendo íntegro el contenido matemático.

Caso 1: Desplazamiento y Puntualidad de un Alumno Universitario

Sea un alumno que asiste a la Facultad. Definimos los siguientes sucesos:

• A: El día elegido, el alumno va en autobús.
• C: El día elegido, el alumno va en coche.
• P: El alumno llega puntual a clase.
• R: El alumno llega con retraso a clase.

Datos Iniciales y Probabilidades

Se nos proporciona la siguiente información:

1. El alumno va en autobús el 80 % de los días: $p(A) = 0.8$.
2. Por lo tanto, va en coche el resto de los días: $p(C) = 1 - p(A) = 1 - 0.8 = 0.2$. (Recordar que la suma de las probabilidades de las ramas de un nodo debe ser 1).
3. Si va en autobús, llega tarde el 20 % de las veces: $p(R|A) = 0.2$.
4. Consecuentemente, si va en autobús, llega puntual el 80 % de las ocasiones: $p(P|A) = 1 - p(R|A) = 0.8$.
5. Si va en coche, llega puntual el 10 % de las veces: $p(P|C) = 0.1$.
6. Esto implica que llega con retraso en el 90 % de las restantes veces: $p(R|C) = 1 - p(P|C) = 0.9$.

Resolución de Preguntas

A) Probabilidad de ir en autobús y llegar puntual

Aplicando el Teorema de la Probabilidad Compuesta, la probabilidad de que haya ido en autobús ($A$) y llegue a tiempo a clase ($P$) es:

$$p(A \cap P) = p(A) \cdot p(P|A) = 0.8 \cdot 0.8 = 0.64$$

B) Probabilidad de llegar tarde a clase

Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total, la probabilidad de que llegue tarde a clase ($R$) es:

$$p(R) = p(A) \cdot p(R|A) + p(C) \cdot p(R|C)$$ $$p(R) = (0.8 \cdot 0.2) + (0.2 \cdot 0.9) = 0.16 + 0.18 = 0.34$$

C) Probabilidad de haber ido en coche dado que llegó puntual

Aplicando el Teorema de Bayes, si ha llegado a tiempo a clase ($P$), la probabilidad de que no haya ido en autobús (es decir, haya ido en coche, $C$) es $p(C|P)$.

Primero, necesitamos $p(P)$. Como $P$ y $R$ son sucesos contrarios, $p(P) = 1 - p(R) = 1 - 0.34 = 0.66$.

Aplicando la fórmula:

$$p(C|P) = \frac{p(C \cap P)}{p(P)} = \frac{p(C) \cdot p(P|C)}{p(P)}$$ $$p(C|P) = \frac{0.2 \cdot 0.1}{0.66} = \frac{0.02}{0.66} = \frac{2}{66} = \frac{1}{33} \approx 0.0303$$

Caso 2: Asignaturas y Género en un Centro Escolar

Llamemos a los sucesos:

• Es: Estudiar Estadística.
• DAO: Estudiar DAO (Diseño de Algoritmos y Organización, asumido como el complemento de Es).
• H: Ser hombre.
• M: Ser mujer.

Datos Iniciales

Se establece la siguiente información:

• El 70 % de los alumnos estudia Estadística: $p(Es) = 0.7$.
• Por el suceso contrario, el resto estudia DAO: $p(DAO) = 1 - p(Es) = 1 - 0.7 = 0.3$.
• El 60 % de los alumnos que estudia Estadística son mujeres: $p(M|Es) = 0.6$.
• Los alumnos que estudian DAO son hombres el 70 %: $p(H|DAO) = 0.7$.

Resolución de Preguntas

a) Probabilidad de ser hombre ($p(H)$)

Para aplicar el Teorema de la Probabilidad Total, necesitamos $p(H|Es)$. Si $p(M|Es) = 0.6$, entonces $p(H|Es) = 1 - 0.6 = 0.4$.

La probabilidad de ser hombre es:

$$p(H) = p(Es) \cdot p(H|Es) + p(DAO) \cdot p(H|DAO)$$ $$p(H) = (0.7 \cdot 0.4) + (0.3 \cdot 0.7) = 0.28 + 0.21 = 0.49$$

b) Probabilidad de estudiar Estadística dado que es mujer ($p(Es|M)$)

Aplicando el Teorema de Bayes y utilizando la probabilidad del suceso contrario:

Primero, calculamos $p(M)$. Como $p(H) = 0.49$, entonces $p(M) = 1 - p(H) = 1 - 0.49 = 0.51$.

Necesitamos $p(Es \cap M)$, que es $p(Es) \cdot p(M|Es)$.

$$p(Es|M) = \frac{p(Es \cap M)}{p(M)} = \frac{p(Es) \cdot p(M|Es)}{p(M)}$$ $$p(Es|M) = \frac{0.7 \cdot 0.6}{0.51} = \frac{0.42}{0.51} = \frac{42}{51} = \frac{14}{17} \approx 0.8235$$