Resolución de Problemas de Probabilidad y Estadística: Ejercicios Paso a Paso

Problema 1: Probabilidad en un Instituto

El 45% de los alumnos de un instituto son mujeres. El 24% de los varones repite curso y el 30% de las mujeres también. Calcular la probabilidad de que, al elegir un estudiante al azar:

a) Sea varón y repetidor

Tabla de datos:

P(V ∩ R) = P(R ∩ V) = 13.2 / 100 = 0.132

P(V ∩ R) / P(V) = 13.2 / 55 = 0.24

b) Sea mujer y no repita curso

P(M ∩ ¬R) = 31.5 / 100 = 0.315

c) Sea mujer, sabiendo que es repetidor

P(M | R) = P(M ∩ R) / P(R) = (13.5 / 100) / (26.7 / 100) = 13.5 / 26.7 ≈ 0.5056

Problema 2: Distribución Normal

El peso de los individuos de una cierta especie es una variable aleatoria normal con media 50 Kg y desviación típica 4 Kg. Calcular la probabilidad de que la media muestral obtenida con los valores de 16 individuos seleccionados aleatoriamente esté entre 48 y 52 Kg.

N(50, 4)

P(48 < X < 52)

Z = (X - μ) / σ

Z1 = (48 - 50) / (4 / √16) = -2 / 1 = -2

Z2 = (52 - 50) / (4 / √16) = 2 / 1 = 2

P(-2 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -2) = P(Z < 2) - [1 - P(Z < 2)] = 2P(Z < 2) - 1

P(Z < 2) = 0.9772

P(-2 < Z < 2) = 2 * 0.9772 - 1 = 1.9544 - 1 = 0.9544

Problema 3: Intervalo de Confianza

El tiempo de reacción de una alarma electrónica ante un fallo del sistema es una variable aleatoria normal con desviación típica 1 segundo. A partir de una muestra de 100 alarmas se ha estimado la media poblacional del tiempo de reacción, mediante un intervalo de confianza, con un error máximo de estimación igual a 0.2 segundos. ¿Con qué nivel de confianza se ha realizado la estimación?

Desviación típica (σ) = 1

n = 100

Error máximo = 0.2

Error máximo = Z_α/2 * (σ / √n)

0.2 = Z_α/2 * (1 / √100)

0.2 = Z_α/2 * (1 / 10)

0.2 = Z_α/2 * 0.1

Z_α/2 = 0.2 / 0.1 = 2

Buscando en la tabla de la distribución normal estándar, encontramos que P(Z < 2) ≈ 0.9772

1 - α = 0.9772 * 2 - 1 = 0.9544

Nivel de confianza = 95.44%