Resolución de Problemas de Probabilidad: Teoremas Clave y Aplicaciones Prácticas

Resolución de Problemas de Probabilidad

Este documento presenta la resolución detallada de tres problemas de probabilidad, aplicando conceptos fundamentales como el Teorema de la Probabilidad Total, el Teorema de Bayes, las Leyes de De Morgan y la probabilidad condicional. Cada sección aborda un escenario distinto, ilustrando la aplicación práctica de estas herramientas estadísticas.

Problema 1: Evaluación de Alumnos en un Tribunal

En un tribunal, se han examinado un total de 290 alumnos, de los cuales 140 provienen del instituto A y 150 del instituto B.

Definamos los siguientes sucesos:

• A: "Alumnos del instituto A"
• B: "Alumnos del instituto B"
• Ap: "Alumnos aprobados"
• Su: "Alumnos suspensos"

Las probabilidades iniciales son:

• p(A) = 140 / (140 + 150) = 14 / 29
• p(B) = 150 / (140 + 150) = 15 / 29
• p(Ap | A) = 80% = 0.8 (Probabilidad de aprobar dado que es del instituto A)
• p(Ap | B) = 72% = 0.72 (Probabilidad de aprobar dado que es del instituto B)

A) Probabilidad Total de Aprobados

Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total, la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya aprobado es:

p(Ap) = p(A) * p(Ap | A) + p(B) * p(Ap | B)

p(Ap) = (14 / 29) * (0.8) + (15 / 29) * (0.72)

p(Ap) = 11.2 / 29 + 10.8 / 29 = 22 / 29

p(Ap) ≈ 0.7586 = 75.86%

B) Probabilidad de ser del Instituto B dado que ha Suspendido

Aplicando el Teorema de Bayes, calculamos la probabilidad de que un alumno sea del instituto B, sabiendo que ha suspendido:

Primero, necesitamos p(Su | B) = 1 - p(Ap | B) = 1 - 0.72 = 0.28.

También, la probabilidad de suspender es p(Su) = 1 - p(Ap) = 1 - (22 / 29) = 7 / 29.

p(B | Su) = (p(B) * p(Su | B)) / p(Su)

p(B | Su) = ((15 / 29) * (0.28)) / (7 / 29)

p(B | Su) = (4.2 / 29) / (7 / 29)

p(B | Su) = 4.2 / 7 = 0.6

Esto significa que el 60% de los alumnos suspensos provienen del instituto B.

Problema 2: Comportamiento de Clientes en una Tienda de Música

Consideremos el comportamiento de los clientes en una tienda de música.

Definamos los siguientes sucesos para un cliente elegido al azar:

• S: "El cliente solicita la colaboración de los dependientes"
• R: "El cliente realiza una compra antes de abandonar la tienda"

Los datos proporcionados son:

• p(S) = 0.3
• p(R) = 0.2
• p(S ∩ R) = 0.15 (Probabilidad de que el cliente solicite ayuda Y realice una compra)

A) Probabilidad de que un Cliente ni Compre ni Solicite Colaboración

Aplicando las Leyes de De Morgan y las propiedades de la probabilidad del suceso complementario y la unión de sucesos, calculamos la probabilidad de que un cliente ni compre ni solicite la colaboración de los dependientes (es decir, Sc ∩ Rc):

p(Sc ∩ Rc) = p((S ∪ R)c)

p((S ∪ R)c) = 1 - p(S ∪ R)

Primero, calculamos p(S ∪ R) = p(S) + p(R) - p(S ∩ R):

p(S ∪ R) = 0.3 + 0.2 - 0.15 = 0.35

Ahora, la probabilidad de que ni compre ni solicite colaboración es:

p(Sc ∩ Rc) = 1 - 0.35 = 0.65

B) Probabilidad de no haber Solicitado Colaboración dado que ha Comprado

Sabiendo que un cliente ha realizado una compra (suceso R), calculamos la probabilidad de que no haya solicitado colaboración a los dependientes (suceso S^c):

p(Sc | R) = p(Sc ∩ R) / p(R)

La probabilidad de Sc ∩ R (que el cliente compre pero no solicite ayuda) se puede expresar como p(R) - p(S ∩ R):

p(Sc ∩ R) = 0.2 - 0.15 = 0.05

Por lo tanto:

p(Sc | R) = 0.05 / 0.2 = 0.25

Problema 3: Itinerario de un Turista en Crucero

Un turista que realiza un crucero tiene ciertas probabilidades de visitar ciudades.

Definamos los siguientes sucesos:

• C: "Visitar Cádiz"
• S: "Visitar Sevilla"

Las probabilidades dadas son:

• p(C) = 50% = 0.5
• p(S) = 40% = 0.4
• p(C ∩ S) = 30% = 0.3 (Probabilidad de visitar ambas ciudades)

A) Probabilidad de Visitar Cádiz o Sevilla

Se nos pide la probabilidad de que el turista visite Cádiz o Sevilla (C ∪ S):

p(C ∪ S) = p(C) + p(S) - p(C ∩ S)

p(C ∪ S) = 0.5 + 0.4 - 0.3 = 0.6

B) Probabilidad de Visitar Solo una de las Ciudades

Se nos pide la probabilidad de que el turista visite Cádiz y no Sevilla, O no Cádiz y sí Sevilla ((C ∩ Sc) ∪ (Cc ∩ S), también conocido como diferencia simétrica):

p(C ∩ Sc) = p(C) - p(C ∩ S) = 0.5 - 0.3 = 0.2

p(Cc ∩ S) = p(S) - p(C ∩ S) = 0.4 - 0.3 = 0.1

Dado que estos dos sucesos son mutuamente excluyentes:

p((C ∩ Sc) ∪ (Cc ∩ S)) = p(C ∩ Sc) + p(Cc ∩ S) = 0.2 + 0.1 = 0.3

C) Probabilidad de Visitar Cádiz pero no Sevilla

Se nos pide la probabilidad de que el turista visite Cádiz y no Sevilla (C ∩ Sc):

p(C ∩ Sc) = p(C) - p(C ∩ S)

p(C ∩ Sc) = 0.5 - 0.3 = 0.2

D) Probabilidad de Visitar Sevilla dado que ha Visitado Cádiz

Se nos pide la probabilidad de que el turista visite Sevilla, sabiendo que ha visitado Cádiz (S | C):

p(S | C) = p(S ∩ C) / p(C)

p(S | C) = 0.3 / 0.5 = 0.6