Resolución de Problemas de Programación Lineal y Optimización de Recursos

Problema 1: Optimización del Transporte Escolar

Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte dispone de autobuses de dos tipos: de 40 plazas y de 50 plazas. Se busca determinar la combinación que minimice el coste total.

1. Definición de la Función Objetivo

Considerando x como el número de autobuses de 40 plazas e y como el número de autobuses de 50 plazas:

f(x, y) = 600x + 800y

2. Restricciones del Problema

• Capacidad total: 40x + 50y ≥ 400
• Disponibilidad de vehículos: x + y ≤ 9
• No negatividad: x ≥ 0, y ≥ 0

3. Cálculo del Valor de la Función Objetivo

Evaluamos los vértices de la región factible:

• f(0, 8) = 600 · 0 + 800 · 8 = 6 400 €
• f(0, 9) = 600 · 0 + 800 · 9 = 7 200 €
• f(5, 4) = 600 · 5 + 800 · 4 = 6 200 € (Valor Mínimo)

Conclusión: El coste mínimo es de 6 200 €, y se consigue contratando 5 autobuses pequeños (40 plazas) y 4 autobuses grandes (50 plazas).

Problema 2: Maximización de Beneficios en la Fabricación de Lámparas

Una compañía fabrica y vende dos modelos de lámpara, L₁ y L₂. La fabricación requiere tiempos diferenciados de trabajo manual y de máquina.

1. Elección de las Incógnitas

• x: nº de lámparas modelo L₁
• y: nº de lámparas modelo L₂

2. Función Objetivo

f(x, y) = 15x + 10y

3. Restricciones y Conversión de Tiempos

Para facilitar los cálculos, pasamos los tiempos de minutos a horas:

• 20 min = 1/3 h
• 30 min = 1/2 h
• 10 min = 1/6 h

Sistema de inecuaciones:

• 1/3x + 1/2y ≤ 100
• 1/3x + 1/6y ≤ 80
• x ≥ 0, y ≥ 0

4. Conjunto de Soluciones Factibles

Determinamos la región que cumple todas las condiciones evaluando el punto de origen (0,0):

• 1/3(0) + 1/2(0) ≤ 100 (Verdadero)
• 1/3(0) + 1/6(0) ≤ 80 (Verdadero)

5. Coordenadas de los Vértices

Calculamos los puntos de intersección de las rectas:

• Intersección con ejes: (0, 200) y (240, 0)
• Intersección de ambas rectas: (210, 60)

6. Cálculo del Beneficio Máximo

Sustituimos los vértices en la función objetivo f(x, y) = 15x + 10y:

• f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €
• f(240, 0) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €
• f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 € (Máximo)

Conclusión: La solución óptima es fabricar 210 unidades del modelo L₁ y 60 unidades del modelo L₂ para obtener un beneficio de 3 750 €.

Problema 3: Producción de Helados y Margen de Utilidad

La casa X fabrica helados de tipo A y B, con un límite de producción de 1000 kilos diarios. El coste de fabricación es de 1,8 euros para el tipo A y 1,5 euros para el tipo B. Se dispone de un presupuesto de 2700 euros al día.

Análisis del Margen Total

Sabiendo que el margen de un kilo de A es el 90% del margen de un kilo de B (m), definimos el margen total como:

z = 0,9mx + my = m(0,9x + y)

Resolución y Optimización

Al analizar las restricciones, observamos que la limitación presupuestaria (1,8x + 1,5y ≤ 2700) no impone una restricción adicional más restrictiva que la capacidad de producción en este escenario. El máximo beneficio se alcanza en el vértice M (0, 1000).

Conclusión: Para maximizar el margen, deben fabricarse 1000 kilos de helado de tipo B y ninguna cantidad del tipo A.