Resolución de Problemas de Razones de Cambio: Un Enfoque Paso a Paso
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Paso 1. Entender el Problema
Factores Cognitivos:
- IDENTIFICAR: que el enunciado corresponde a un problema de razón de cambio.
- DIFERENCIAR: los datos, cuáles son constantes y cuáles son variables.
- RECONOCER: que entre los datos e incógnitas hay razones de cambio dadas y otras que son incógnitas.
- DEFINIR: las variables involucradas: la variable dependiente (el volumen del globo), la variable intermediaria (el radio del globo) y la variable independiente (el tiempo).
- Para la segunda pregunta, hay que definir además la variable dependiente (el área superficial), la variable intermediaria (el radio) y la variable independiente (el tiempo).
- COMPRENDER: que las preguntas se formulan sobre un valor fijo de la variable independiente.
- OBSERVAR: que se conoce la tasa de cambio del volumen de aire y que se pregunta por la tasa de cambio del radio del globo y la tasa de cambio del área de la superficie del globo.
Datos:
- t: tiempo medido en minutos, (v. independiente)
- V(t): Volumen del globo en función del tiempo. (v. dependiente)
- r(t): radio del globo en función del tiempo. (variable intermediaria)
- A(t): Área superficial del globo en función del tiempo. (v. dependiente)
- t*: instante en que el radio del globo es de 5 pies.
RAZONES DE CAMBIO.
, razón de cambio a la que aumenta el radio del globo
, rapidez a la que cambia el área superficial.
GRÁFICO. figura del
SINTETIZAR: la información mediante una herramienta esquemática. MAPA CONCEPTUAL O MENTAL.
Paso 2. Configurar un Plan
Factores Cognitivos:
- COMPRENDER: la estrategia usada en estos problemas, que se debe determinar del enunciado o del esquema gráfico una ecuación que relacione la variable dependiente con las variables intermediarias.
- DEDUCIR: del enunciado y de la información que la variable dependiente es el volumen del globo.
- OBSERVAR: que en este caso la variable dependiente es función de una variable intermediaria que es el radio del globo.
- EXPRESAR: la variable dependiente en términos de la variable intermediaria.
Paso 4. Mirar Hacia Atrás
INTERPRETAR: los resultados obtenidos, expresándolos en las unidades requeridas en el problema.
VERBALIZAR la respuesta.
En el instante en que el radio del globo mide 5 pies:
- la razón de cambio del radio es de 1
el signo positivo indica que el radio aumenta con respecto al tiempo.
- El área de la superficie del globo aumenta a razón de
.
Paso 3. Ejecutar el Plan
Factores Cognitivos:
- APLICAR: la Regla de la Cadena para derivar V=f(r) en forma implícita con respecto al tiempo.
de modo que
- RELACIONAR: las tasas de cambio con la información que proporciona el enunciado.
- IDENTIFICAR: que la tasa de cambio del volumen es un dato dado explícito y que se pregunta por la tasa de cambio del radio en el instante en que el radio mide 5 pies.
- IDENTIFICAR: que la tasa de cambio del radio es una función en la variable independiente t.
- COMPRENDER: que se pide la tasa de cambio, en un instante fijo de tiempo t*, aquel en que el radio es de 5 pies.
- EVALUAR: la expresión en el instante
ANALIZAR: si faltan más preguntas que satisfacer.
- OBSERVAR: que además hay que calcular
. Para ello:
- APLICAR: la Regla de la Cadena para derivar A=f(r) en forma implícita.
- RELACIONAR: las tasas de cambio con la información que proporciona el resultado de a)
- IDENTIFICAR: que la tasa de cambio del radio ahora es un dato y que se pregunta por la tasa de cambio del área, en el instante en que el radio es de 5 pies.
- EVALUAR: las funciones en el instante
- REEMPLAZAR: los datos en forma explícita