Resolución de Problemas de Sucesiones, Series y Depreciación Financiera

Planteamiento de Problemas Matemáticos

1. Cálculo de Términos de una Sucesión

   Determinar los **primeros 5 términos** de la expresión: $(4^n \cdot n!)^3$.

2. Fórmula General de una Sucesión Alternante

   Encontrar la **fórmula de la sucesión** dada por los términos: $11/12, -13/14, 15/16, \dots$

3. Suma Parcial y Término General

   Encontrar la **tercera suma parcial** y el **n-ésimo término** de $A_n = \sqrt{n+12} + \sqrt{n+13}$.

4. Determinación de la Sumatoria

   Encontrar la **sumatoria** de la siguiente serie finita: $-4+16-36+64-100$.

5. Problema de Depreciación

   Un auto se deprecia el **10% cada año**. Si en el año 2014 su valor es de **53,748,000**, determine el costo a los 6 años (usar FIX 3 para el resultado final).

Soluciones Detalladas

R1: Sucesión Logarítmica y Progresión Geométrica

La secuencia de resultados presentada ($a_1=3, a_2=6, a_3=12, a_4=24, a_5=48$) corresponde a una **progresión geométrica** con razón $r=2$. Las expresiones logarítmicas dadas en el documento original son:

• $a_1$: $\log_3(9^{a1-1})$, $a_1=3$
• $a_2$: $a_2=\log_3(9^{a2-1})$, $a_2=6$
• $a_3$: $a_3=\log_3(9^{a3-1})$, $a_3=12$
• $a_4$: $a_4=\log_3(9^{a4-1})$, $a_4=24$
• $a_5$: $a_5=\log_3(9^{a4-1})$, $a_5=48$

R2: Fórmula del n-ésimo Término

La fórmula para la sucesión $11/12, -13/14, 15/16, \dots$ es una **sucesión alternante** donde el numerador es $2n+9$ y el denominador es $2n+10$. La fórmula propuesta es:

$$A_n = \frac{-(9+2n) \cdot (-1)^n}{10+2n}$$

R3: Suma Telescópica

Aunque el problema pide la suma parcial de $A_n = \sqrt{n+12} + \sqrt{n+13}$, la solución R3 muestra el cálculo de una **suma telescópica** $S_{10}$ para una secuencia de la forma $B_n = \sqrt{n+12} - \sqrt{n+13}$.

Desarrollo de la suma $S_{10}$:

$S_{10} = \sqrt{n+12}-\sqrt{n+13}+\sqrt{n+12}-\sqrt{n+13}\dots\sqrt{n+12}-\sqrt{n+13}+\sqrt{n+12}-\sqrt{n+13}$

$S_{10} = \sqrt{1+12}-\sqrt{1+13}+\sqrt{2+12}-\sqrt{2+13}\dots\sqrt{9+12}-\sqrt{9+13}+\sqrt{10+12}- \sqrt{10+13}$

$S_{10} = \sqrt{13} - \sqrt{14} + \sqrt{14} - \sqrt{15}\dots \sqrt{21} - \sqrt{22} + \sqrt{22} - \sqrt{23}$

Tras la cancelación de términos intermedios:

$S_{10} = \sqrt{13} - \sqrt{23}$

R4: Sumatoria de Cuadrados Alternantes

La serie es **-4 +16 -36 +64 -100**. Los términos son los cuadrados de los números pares con signos alternantes. La notación de sumatoria propuesta es:

$$\sum_{k=1}^{n} (2n)^2 \cdot (-1)^n$$

Desglose de los términos cuadrados:

2*2, 4*4, 6*6, 8*8, 10*10

El término general es: $(2n)^2 \cdot (-1)^n$

R5: Cálculo de Depreciación

Se utiliza la fórmula de **depreciación compuesta** $P_t = P_0 (1-d)^t$. El valor inicial en 2014 es 53,748,000 y la tasa de retención $r = 9/10$. Se calcula el valor después de 5 periodos de depreciación (valor al inicio del sexto año).

• 2014: 53,748,000
• 2015 (Valor después de 1 año): 53,748,000 \cdot 10\% = 48,373,200
• Razón de depreciación ($r$): **9/10**
• Costo después de 5 años ($a_6$): $a_6 = 53,748,000 \cdot (9/10)^5 = 31,442,411$