Resolución de Problemas de Trigonometría Aplicada y Razones Fundamentales

Problemas de Aplicación de Trigonometría

Cálculo de la Altura de una Montaña

Planteamiento del Problema:

Se observa una montaña desde dos puntos distintos en una línea recta. Se forma un triángulo dividido en dos, con ángulos de elevación de 32° y 36° respectivamente. Se conoce una base de 200m y se busca la altura (h) de la montaña y la distancia (x) desde el segundo punto de observación hasta la base de la vertical de la cima.

Resolución:

Consideremos dos triángulos rectángulos formados por la altura de la montaña (h) y las distancias horizontales.

• Para el triángulo con ángulo de 36°:
  • tan(36°) = h / x
  • Despejando h: h = x · tan(36°)
  • Usando un valor aproximado de tan(36°) ≈ 0.7265, entonces h ≈ 0.7265x
• Para el triángulo con ángulo de 32°:
  • tan(32°) = h / (200 + x)
  • Despejando h: h = (200 + x) · tan(32°)
  • Usando un valor aproximado de tan(32°) ≈ 0.6249, entonces h ≈ 0.6249(200 + x)

Igualando las expresiones para h:

• x · tan(36°) = (200 + x) · tan(32°)
• 0.7265x = 0.6249(200 + x)
• 0.7265x = 124.98 + 0.6249x
• 0.7265x - 0.6249x = 124.98
• 0.1016x = 124.98
• x = 124.98 / 0.1016
• x ≈ 1229.92 m

Ahora, calculamos la altura h usando el valor de x:

• h = x · tan(36°)
• h = 1229.92 · 0.7265
• h ≈ 893.49 m

Resultados:

• La distancia x es aproximadamente 1229.92 metros.
• La altura de la montaña h es aproximadamente 893.49 metros.

Cálculo de la Altura de un Edificio y el Ancho de la Calle

Planteamiento del Problema:

Des d'una finestra d'una casa, situada a 15m d'altura, s'observa el punt més alt de l'edifici del davant, a l'altra banda del carrer, amb un angle d'elevació de 30º. També es veu el punt més baix de l'edifici amb un angle de depressió de 55º. Calcula l'altura de l'edifici observat i l'amplada del carrer.

Resolución:

Se forman dos triángulos rectángulos a partir de la posición de la ventana:

• Triángulo inferior (ángulo de depresión):
  • El ángulo de depresión es de 55°. El cateto opuesto a este ángulo es el ancho de la calle (llamémoslo a). El cateto adyacente es la altura de la ventana (15m).
  • tan(55°) = a / 15
  • Despejando a: a = 15 · tan(55°)
  • Usando un valor aproximado de tan(55°) ≈ 1.4281:
  • a = 15 · 1.4281
  • a ≈ 21.42 m (Ancho de la calle)
• Triángulo superior (ángulo de elevación):
  • El ángulo de elevación es de 30°. El cateto adyacente a este ángulo es el ancho de la calle (a ≈ 21.42 m). El cateto opuesto es la altura del edificio por encima de la ventana (llamémosla h_superior).
  • tan(30°) = h_superior / a
  • Despejando h_superior: h_superior = a · tan(30°)
  • Usando un valor aproximado de tan(30°) ≈ 0.5774:
  • h_superior = 21.42 · 0.5774
  • h_superior ≈ 12.37 m

Cálculo de la Altura Total del Edificio:

La altura total del edificio (h_total) es la suma de la altura de la ventana y la altura del edificio por encima de la ventana.

• h_total = Altura_ventana + h_superior
• h_total = 15 m + 12.37 m
• h_total ≈ 27.37 m

Resultados:

• El ancho de la calle es aproximadamente 21.42 metros.
• La altura total del edificio es aproximadamente 27.37 metros.

Ejercicios de Razones Trigonométricas

Ejercicio 1: Cálculo de Coseno y Tangente dado el Seno

Problema:

Dado un ángulo agudo α tal que sen(α) = 4/5, calcular cos(α) y tan(α).

Resolución:

Utilizamos la identidad trigonométrica fundamental: sen²(α) + cos²(α) = 1.

1. Sustituir el valor de sen(α) en la fórmula:
   • (4/5)² + cos²(α) = 1
   • 16/25 + cos²(α) = 1
2. Aislar cos²(α):
   • cos²(α) = 1 - 16/25
   • cos²(α) = 25/25 - 16/25
   • cos²(α) = 9/25
3. Tomar la raíz cuadrada para encontrar cos(α). Dado que α es un ángulo agudo (primer cuadrante), el coseno es positivo:
   • cos(α) = √(9/25)
   • cos(α) = 3/5
4. Calcular la tangente usando la relación tan(α) = sen(α) / cos(α):
   • tan(α) = (4/5) / (3/5)
   • tan(α) = 4/3

Ejercicio 2: Cálculo de Razones Trigonométricas en Diferentes Cuadrantes

Problema:

Si cos(α) = -0.8, calcular las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) para un ángulo α en el segundo cuadrante y para un ángulo α en el tercer cuadrante.

Resolución para cos(α) = -0.8:

Primero, calculamos sen(α) usando sen²(α) + cos²(α) = 1.

• sen²(α) + (-0.8)² = 1
• sen²(α) + 0.64 = 1
• sen²(α) = 1 - 0.64
• sen²(α) = 0.36
• sen(α) = ±√0.36
• sen(α) = ±0.6

Caso 1: Ángulo α en el Segundo Cuadrante (90° < α < 180°)

En el segundo cuadrante:

• El coseno es negativo: cos(α) = -0.8 (dado)
• El seno es positivo: sen(α) = 0.6
• La tangente es negativa: tan(α) = sen(α) / cos(α) = 0.6 / (-0.8) = -0.75

Caso 2: Ángulo α en el Tercer Cuadrante (180° < α < 270°)

En el tercer cuadrante:

• El coseno es negativo: cos(α) = -0.8 (dado)
• El seno es negativo: sen(α) = -0.6
• La tangente es positiva: tan(α) = sen(α) / cos(α) = (-0.6) / (-0.8) = 0.75

Ejercicio 3: Cálculo de Razones Trigonométricas en Diferentes Cuadrantes (con fracción)

Problema:

Si cos(α) = -1/2, calcular las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) para un ángulo α en el segundo cuadrante y para un ángulo α en el tercer cuadrante.

Resolución para cos(α) = -1/2:

Primero, calculamos sen(α) usando sen²(α) + cos²(α) = 1.

• sen²(α) + (-1/2)² = 1
• sen²(α) + 1/4 = 1
• sen²(α) = 1 - 1/4
• sen²(α) = 3/4
• sen(α) = ±√(3/4)
• sen(α) = ±√3 / 2

Caso 1: Ángulo α en el Segundo Cuadrante (90° < α < 180°)

En el segundo cuadrante:

• El coseno es negativo: cos(α) = -1/2 (dado)
• El seno es positivo: sen(α) = √3 / 2
• La tangente es negativa: tan(α) = sen(α) / cos(α) = (√3 / 2) / (-1/2) = -√3

Caso 2: Ángulo α en el Tercer Cuadrante (180° < α < 270°)

En el tercer cuadrante:

• El coseno es negativo: cos(α) = -1/2 (dado)
• El seno es negativo: sen(α) = -√3 / 2
• La tangente es positiva: tan(α) = sen(α) / cos(α) = (-√3 / 2) / (-1/2) = √3

Fórmulas Fundamentales y Valores Notables de Razones Trigonométricas

Definiciones Básicas en un Triángulo Rectángulo

• Seno (sen α): Relación entre el cateto opuesto al ángulo α y la hipotenusa.
  • sen(α) = Cateto Opuesto / Hipotenusa
• Coseno (cos α): Relación entre el cateto adyacente al ángulo α y la hipotenusa.
  • cos(α) = Cateto Adyacente / Hipotenusa
• Tangente (tan α): Relación entre el cateto opuesto al ángulo α y el cateto adyacente al ángulo α.
  • tan(α) = Cateto Opuesto / Cateto Adyacente

Valores Notables para Ángulos Comunes

A continuación, se presentan los valores de las razones trigonométricas para ángulos de 30°, 45° y 60°: