Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 2x2: Método de Reducción y Verificación

Este documento detalla el proceso para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, utilizando el método de reducción (también conocido como eliminación). Además, se incluye la verificación de la solución y su aplicación a un problema práctico.

Sistema de Ecuaciones Propuesto

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Ecuación 1: 2x + 3y = 2,300

Ecuación 2: 3x + 2y = 2,450

Paso 1: Búsqueda del Valor de las Incógnitas (Método de Reducción)

Ahora se busca el valor de las incógnitas que satisfacen el sistema anterior. Para ello, aplicaremos el método de reducción (también conocido como método de eliminación).

Nota: Si se sumaran directamente las dos ecuaciones originales, se obtendría: (2x + 3y) + (3x + 2y) = 2,300 + 2,450, lo que simplifica a 5x + 5y = 4,750. Sin embargo, para el método de reducción, el objetivo es eliminar una de las variables.

1.1. Eliminación de la Incógnita x para hallar y

Para eliminar la incógnita x, multiplicamos la Ecuación 1 por el coeficiente de x de la Ecuación 2 (que es 3) y la Ecuación 2 por el coeficiente de x de la Ecuación 1 (que es 2). Es crucial ajustar los signos para que los términos de x se cancelen al sumar.

Inicialmente, si multiplicamos sin ajustar signos:

• Multiplicamos la Ecuación 1 por (3):
  (3) * (2x + 3y) = (3) * 2,300
6x + 9y = 6,900
• Multiplicamos la Ecuación 2 por (2):
  (2) * (3x + 2y) = (2) * 2,450
6x + 4y = 4,900

En este caso, la incógnita x no se cancela al sumar, ya que ambos términos con x son positivos. Para lograr la cancelación, basta con cambiar el signo del coeficiente por el que se multiplica una de las ecuaciones. Multiplicaremos la Ecuación 1 por -3.

Procedemos con el ajuste de signos:

• (c) Multiplicamos la Ecuación 1 por (-3):
  (-3) * (2x + 3y) = (-3) * 2,300
-6x - 9y = -6,900
• (d) Multiplicamos la Ecuación 2 por (2):
  (2) * (3x + 2y) = (2) * 2,450
6x + 4y = 4,900

Al sumar las ecuaciones resultantes de (c) y (d), la incógnita x se eliminó, y se obtiene una ecuación lineal con una sola incógnita:

(-6x - 9y) + (6x + 4y) = -6,900 + 4,900

-5y = -2,000

Ahora, resolvemos esta ecuación lineal para y. El coeficiente de la incógnita es -5. Se usa la propiedad del inverso multiplicativo para obtener un coeficiente de 1. Para ello, la ecuación se multiplica por (-1/5).

• (e) Multiplicamos ambos lados por (-1/5):
  (-1/5) * (-5y) = (-1/5) * (-2,000)
-5y / -5 = -2,000 / -5
y = 400

De acuerdo con el paso (e), el valor de y es 400.

1.2. Eliminación de la Incógnita y para hallar x

Ahora se busca que el coeficiente de la incógnita y sea cero para obtener el valor de la incógnita x. Para ello, multiplicamos la Ecuación 1 por el coeficiente de y de la Ecuación 2 (que es 2) y la Ecuación 2 por el coeficiente de y de la Ecuación 1 (que es 3). Ajustamos los signos para la cancelación.

• (f) Multiplicamos la Ecuación 1 por (-2):
  (-2) * (2x + 3y) = (-2) * 2,300
-4x - 6y = -4,600
• (g) Multiplicamos la Ecuación 2 por (3):
  (3) * (3x + 2y) = (3) * 2,450
9x + 6y = 7,350

Al sumar las ecuaciones resultantes de (f) y (g), la incógnita y se eliminó, y se obtiene una ecuación con una sola incógnita:

(-4x - 6y) + (9x + 6y) = -4,600 + 7,350

5x = 2,750

Resolvemos esta ecuación para x. El coeficiente de la incógnita x es 5. Usando la propiedad del inverso multiplicativo, se multiplica por (1/5) para obtener un coeficiente de 1.

• (h) Multiplicamos ambos lados por (1/5):
  (1/5) * (5x) = (1/5) * (2,750)
5x / 5 = 2,750 / 5
x = 550

Por el paso (h), se concluye que el valor de x es 550.

Paso 2: Solución del Sistema de Ecuaciones

La solución del sistema de ecuaciones es x = 550 e y = 400.

Paso 3: Verificación de la Solución

Para verificar el resultado obtenido, es necesario sustituir los valores de x e y en el sistema de ecuaciones original y comprobar que se cumple la igualdad en ambas ecuaciones.

• (i) Sustitución en la Ecuación 1:

  2(550) + 3(400) = 2,300
1,100 + 1,200 = 2,300
2,300 = 2,300 (La igualdad se cumple)

• (j) Sustitución en la Ecuación 2:

  3(550) + 2(400) = 2,450
1,650 + 800 = 2,450
2,450 = 2,450 (La igualdad se cumple)

Con base en los pasos (i) y (j), se comprueba que los valores obtenidos son correctos.

Paso 4: Aplicación a un Problema Práctico

Por lo tanto, para responder al problema planteado (implícito en los valores), se establece que el costo de cada pantalón de mezclilla es de $550 y el de cada camisa es de $400.