Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Igualación, Sustitución y Regla de Cramer

Métodos para la Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Método de Igualación

Este método consiste en despejar una variable en ambas ecuaciones y luego igualar las expresiones resultantes.

Ejemplo de Aplicación:

Consideremos el siguiente sistema:

• Ecuación 1: 3x - 4y = -6
• Ecuación 2: 2x + 4y = 16

1. Despejar una variable (ej. x) en ambas ecuaciones:
   • De la Ecuación 1: $x = \frac{-6 + 4y}{3}$
   • De la Ecuación 2: $x = \frac{16 - 4y}{2}$
2. Igualar las expresiones de x: $$ \frac{-6 + 4y}{3} = \frac{16 - 4y}{2} $$
3. Resolver la ecuación resultante para y:

   Se aplica el producto cruzado:

   $$ 2(-6 + 4y) = 3(16 - 4y) $$ $$ -12 + 8y = 48 - 12y $$

   Agrupando términos semejantes:

   $$ 12y + 8y = 48 + 12 $$ $$ 20y = 60 $$ $$ y = \frac{60}{20} \implies \mathbf{y = 3} $$
4. Sustituir el valor de y en una de las expresiones originales para x: $$ x = \frac{16 - 4(3)}{2} $$ $$ x = \frac{16 - 12}{2} $$ $$ x = \frac{4}{2} \implies \mathbf{x = 2} $$

La solución del sistema es $\mathbf{(x, y) = (2, 3)}$.

Método de Sustitución

Este método implica despejar una variable en una ecuación y sustituir su expresión en la otra ecuación.

Ejemplo de Aplicación:

Consideremos el sistema:

• Ecuación A: X + Y = 41
• Ecuación B: X - Y = 5

1. Despejar una variable (ej. X) de la Ecuación B: $$ X = 5 + Y $$
2. Sustituir esta expresión de X en la Ecuación A: $$ (5 + Y) + Y = 41 $$
3. Resolver para Y: $$ 5 + 2Y = 41 $$ $$ 2Y = 41 - 5 $$ $$ 2Y = 36 $$ $$ \mathbf{Y = 18} $$
4. Sustituir el valor de Y en la expresión despejada de X: $$ X = 5 + 18 $$ $$ \mathbf{X = 23} $$

La solución es $\mathbf{(X, Y) = (23, 18)}$.

Regla de Cramer (Método de Determinantes)

La Regla de Cramer utiliza determinantes para encontrar las soluciones de un sistema lineal de la forma:

$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

Fórmulas Clave:

• Determinante del sistema: $A = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$
• Determinante para x: $A_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}$
• Determinante para y: $A_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}$
• Soluciones: $x = \frac{A_x}{A}$ y $y = \frac{A_y}{A}$

Ejemplo de Aplicación:

Sistema:

• 3x + 2y = 19
• 6x - 5y = 20

Paso 1: Calcular el Determinante del Sistema (A)

$$ A = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 6 & -5 \end{vmatrix} = (3)(-5) - (2)(6) = -15 - 12 = \mathbf{-27} $$

Paso 2: Calcular el Determinante para x ($A_x$)

$$ A_x = \begin{vmatrix} 19 & 2 \\ 20 & -5 \end{vmatrix} = (19)(-5) - (2)(20) = -95 - 40 = \mathbf{-135} $$

Paso 3: Calcular el Determinante para y ($A_y$)

$$ A_y = \begin{vmatrix} 3 & 19 \\ 6 & 20 \end{vmatrix} = (3)(20) - (19)(6) = 60 - 114 = \mathbf{-54} $$

Paso 4: Determinar las soluciones

$$ x = \frac{A_x}{A} = \frac{-135}{-27} \implies \mathbf{x = 5} $$ $$ y = \frac{A_y}{A} = \frac{-54}{-27} \implies \mathbf{y = 2} $$

La solución es $\mathbf{(x, y) = (5, 2)}$.