Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Regla de Cramer y Rouché-Frobenius

Escrito el 17 de Mayo de 2025 en español con un tamaño de 6,29 KB

Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Regla de Cramer (Sistema Compatible Determinado - SCD)

Un sistema es Compatible Determinado (SCD) si tiene una única solución. Para aplicar la Regla de Cramer, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser distinto de cero (|A| ≠ 0).

Ejemplo de SCD

Consideremos el sistema:

x - y       = 7
2x + y - z  = 3
     y + z  = 3

Primer paso: Calcular el determinante de la matriz de coeficientes |A|.

|A| = | 1  -1   0 |
    | 2   1  -1 |
    | 0   1   1 |

Calculando el determinante, obtenemos |A| = 4. Como |A| ≠ 0, el sistema es un SCD y podemos aplicar la Regla de Cramer.

La Regla de Cramer establece que la solución para cada incógnita (x, y, z) se obtiene dividiendo el determinante de la matriz resultante de sustituir la columna de coeficientes de esa incógnita por la columna de términos independientes, entre el determinante de la matriz de coeficientes |A|.

x = |A_x| / |A| , y = |A_y| / |A| , z = |A_z| / |A|

Donde |A_x| es el determinante de la matriz que se obtiene al sustituir la columna de los coeficientes de 'x' por la columna de los términos independientes:

|A_x| = | 7  -1   0 |
      | 3   1  -1 |
      | 3   1   1 |

Calculando |A_x|, obtenemos |A_x| = 20. Por lo tanto, x = |A_x| / |A| = 20 / 4 = 5.

De manera similar, se calcularían |A_y| y |A_z| para encontrar los valores de y y z.

Regla de Cramer (Sistema Compatible Indeterminado - SCI)

Un sistema es Compatible Indeterminado (SCI) si tiene infinitas soluciones. Esto ocurre cuando el determinante de la matriz de coeficientes es cero (|A| = 0) y el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, pero menor que el número de incógnitas.

Ejemplo de SCI

Consideremos el sistema:

3x + y - z  = 2
-2x + y - z = 1
x + 2y - 2z = 3

Primer paso: Calcular el determinante de la matriz de coeficientes |A|.

|A| = | 3   1  -1 |
    | -2  1  -1 |
    | 1   2  -2 |

Calculando el determinante, obtenemos |A| = 0. Como |A| = 0, el sistema no es SCD. Para determinar si es SCI o SI, usamos el Teorema de Rouché-Frobenius (ver sección posterior).

Si determinamos que es un SCI, para encontrar las infinitas soluciones usando una adaptación de Cramer, debemos parametrizar una o más variables (tantas como la diferencia entre el número de incógnitas y el rango de la matriz). En este ejemplo, si el rango es 2 y hay 3 incógnitas, parametrizamos una variable, por ejemplo, z = λ.

Pasamos la variable parametrizada al lado derecho de las ecuaciones:

3x + y = 2 + λ
-2x + y = 1 + λ
x + 2y = 3 + 2λ  (Esta ecuación podría ser linealmente dependiente de las otras si el rango es 2)

Tomamos un subsistema de ecuaciones cuyo determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de cero. Por ejemplo, las dos primeras ecuaciones:

3x + y = 2 + λ
-2x + y = 1 + λ

La matriz de coeficientes de este subsistema es:

B = |  3   1 |
    | -2   1 |

El determinante de esta matriz es |B| = (3)(1) - (1)(-2) = 3 + 2 = 5. Como |B| ≠ 0, podemos usar Cramer para resolver x e y en términos de λ.

Aplicamos Cramer al subsistema:

x = |B_x| / |B| , y = |B_y| / |B|

Donde |B_x| y |B_y| se calculan sustituyendo la columna correspondiente por la columna de términos independientes (que ahora contienen λ):

|B_x| = | 2 + λ   1 |
      | 1 + λ   1 |

|B_x| = (2 + λ)(1) - (1)(1 + λ) = 2 + λ - 1 - λ = 1

x = |B_x| / |B| = 1 / 5

|B_y| = |  3   2 + λ |
      | -2   1 + λ |

|B_y| = (3)(1 + λ) - (-2)(2 + λ) = 3 + 3λ + 4 + 2λ = 7 + 5λ

y = |B_y| / |B| = (7 + 5λ) / 5 = 7/5 + λ

La solución general del sistema es:

x = 1/5

y = 7/5 + λ

z = λ

Donde λ es cualquier número real.

Tipos de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistema Compatible Determinado (SCD): Tiene una única solución.
Sistema Compatible Indeterminado (SCI): Tiene infinitas soluciones (dependen de uno o más parámetros).
Sistema Incompatible (SI): No tiene solución.

Teorema de Rouché-Frobenius

Este teorema permite clasificar un sistema de ecuaciones lineales según el rango de la matriz de coeficientes (Rang A) y el rango de la matriz ampliada (Rang A*).

Si Rang A = Rang A* = número de incógnitas: El sistema es Compatible Determinado (SCD).
Si Rang A = Rang A* < número de incógnitas: El sistema es Compatible Indeterminado (SCI).
Si Rang A ≠ Rang A*: El sistema es Incompatible (SI).

Nota: El rango de la matriz ampliada (Rang A*) siempre es igual o mayor que el rango de la matriz de coeficientes (Rang A), y como máximo es Rang A + 1.

Una vez clasificado el sistema (SCD o SCI), se puede aplicar la Regla de Cramer (con o sin parametrización, según el caso) u otros métodos para encontrar las soluciones.

Sistemas Homogéneos

Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos independientes son cero.

3x + y - z  = 0
-2x + y - z = 0
x + 2y - 2z = 0

En un sistema homogéneo, la columna de términos independientes es una columna de ceros. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes (Rang A) siempre es igual al rango de la matriz ampliada (Rang A*).

Por lo tanto, un sistema homogéneo siempre es compatible (nunca es SI).

Si Rang A = número de incógnitas: El sistema es SCD y la única solución es la solución trivial (todas las incógnitas son cero: x=0, y=0, z=0, etc.).
Si Rang A < número de incógnitas: El sistema es SCI y tiene infinitas soluciones, incluyendo la solución trivial. Estas soluciones se obtienen parametrizando las variables libres y aplicando métodos como Cramer o Gauss-Jordan.

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