Resolución de Sistemas de Ecuaciones: Métodos de Reducción, Sustitución y Gráfico

Método de Reducción

El método de reducción consiste en obtener un sistema equivalente sumando o restando a una de las ecuaciones la otra, de manera que el nuevo sistema tenga en una de las ecuaciones una incógnita menos.

Ejemplo de Resolución por Método de Reducción

Resuelve el sistema:

5x + 3y = 7

3x + 4y = 2

Pasos:

1. Multiplicamos una o ambas ecuaciones por números para conseguir un sistema equivalente donde una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, pero con distintos signos.

(-3) * (5x + 3y) = 7 → -15x - 9y = -21

(5) * (3x + 4y) = 2 → 15x + 20y = 10

2. Sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones obtenidas:

-15x - 9y = -21

15x + 20y = 10

11y = -11

3. Sustituimos en una de las dos ecuaciones del sistema inicial el valor de la incógnita que hemos encontrado.

Sustituyendo y = -1 en 5x + 3y = 7 tenemos:

5x + 3(-1) = 7 → 5x - 3 = 7

Solución del sistema: x = 2, y = -1

Método de Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones del sistema y después sustituir en la otra ecuación esta incógnita por la expresión obtenida.

Ejemplo de Resolución por Método de Sustitución

Resuelve el sistema:

x + 2y = 9

4x + 3y = 11

Pasos:

1. Despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones, por ejemplo, x en la primera ecuación:

x + 2y = 9 → x = 9 - 2y

2. Sustituimos en la otra ecuación la incógnita despejada por la expresión obtenida:

4(9 - 2y) + 3y = 11

3. Resolvemos la ecuación obtenida en el paso anterior:

36 - 8y + 3y = 11

36 - 5y = 11

36 - 5y - 36 = 11 - 36

-5y = -25

y = 5

4. Sustituimos el valor de la incógnita que hemos encontrado en la expresión obtenida al despejar la otra incógnita:

Sustituyendo y = 5 en x = 9 - 2y, tenemos:

x = 9 - 2 * 5 = -1

Solución del sistema: x = -1, y = 5

Método Gráfico

El método gráfico consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones y representar las correspondientes rectas.

Ejemplo de Resolución por Método Gráfico

x + 2y = 4

x - y = 1

Pasos:

1. Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones:

x + 2y = 4 → y = (4 - x) / 2

x - y = 1 → y = x - 1

2. Construimos tablas de valores para cada ecuación, dándole valores arbitrarios a la incógnita que no hemos despejado y sustituyendo en la ecuación correspondiente: