Resumen Completo de Álgebra Lineal y Ecuaciones Diferenciales

• Sistemas de ecuaciones

- **rg(A)=rg(A*) SCD** (1 sol.)

- **rg(A)=rg(A*)**

param. n-rg(A)= G.libertad

- **rg(A)≠rg(A*) SI** (0 sol.)

• Factorización LU

2f₂ -(-f₁) f₃-(-1/6f₂)

f₃-1/2f₁

m1=(-1)

m2=1/2

m3=-1/6

L*U=A

• Gram-Schmidt (ortogonalización)

• Diagonalización

1) A-λI 2) /A-λI/ 3) valores de λ sacar VEP(haciendo ceros diagonal inferior) ->(a,b),(c,d) 4)

D=P^-1AP

• Diagonalización ortogonal (Gram-Schmidt)

1) A-λI 2) /A-λI/ 3) valores de λ sacar VEP 4) aplicar G-S a los VEP 5) D=P^-1AP

• Autoespacios generalizados

-Tras obtener los valores de λ:

λ₁=a m=n

λ₂=b m=p *calcular el sistema n+1, p+1 (un orden más que la multiplicidad). Obtiene la base de vectores.

• Teorema de la descomposición primaria

- Base de autovectores generalizados justo hasta la multiplicidad. P^-1AP-> Poner resultado como combinación de las coordenadas de los vectores obtenidos para el P.

• Ecuaciones en diferencias

1. Ec. Homogéneas

X_j+2-2X_j+1+3X_j=0 ----> Z²-2Z-3=0 (sacar valores de z) Z=3 y Z=-1

-solución: y_j=A(3)^j+B(-1)^j (si alguna tiene más de 1 multiplicidad: Y_j=A(3)^j+Bj(3)^j+c(-1)^j)

*nos dan: x(0)=0 y x(1)=1, sustituir valores???????

2. Ec. No homogéneas

X_j+2-2X_j+1-3X_j=j2^j --->1º) Ec. homogénea: y_j=A(3)^j+B(-1)^j

2º) Ec. no homogénea: X_j=(A+Bj)2^j /// X_j+1=(A+B(j+1))2^j+1 /// X_j+2=(A+B(j+2))2^j+2

sustituir en la ecuación y sacar los valores de A y B. volver X_j=(A+Bj)2^j(sustituir) -->

y_j=(A+Bj)2^j +A(3)^j+B(-1)^j

• Sistemas de ecuaciones diferenciales

1.Sistema homogéneo

1) A-λI 2)/A-λI/ (sacar valores de λ) 3)Para cada λ dar valor y sacar vector 4) soluciones:(λ=1,λ=-1-2i,λ=-1+2i) --> X₁(t)=e^1t(vector colocado en vertical), X₂(t)=e^(-1-2i)t(vector colocado en vertical), X₃(t)=e^(-1+2i)t(vector colocado en vertical).

x(t)=C₁ e^t () + C₂e^-te^-2it() + C₃+e^-te^2it() =C₁ e^t () + C₂e^-t(cos2t-isen2t)() + C₃+e^-t(cos2t +isen2t)()

2.Sistema no homogéneo

Igual que el homogéneo pero la solución de la forma:

Métodos:

*Variación de las constantes (con la solución formamos la matriz m(t))

m(t) c'(t)=b(t) c'(t)=m^-1(b(t))

*Método de los coeficientes indeterminados (solo si la matriz es 2x2)

(solución general de la homogénea + particular)

• Laplace

*Ec. orden superior (homogéneas)

a) y''-y'=0 ---> λ²y-λy=0 λy(λ-1)=0 λ=0, λ=1 (soluciones reales y distintas) ---> y=c1 e^0t+c2e^1t

b)y'''-y''=0 ---> y'''->λ³y

y''->λ²y

y' ->λy

y -> 1y

λ³y-λ²y=0 λ²y(λ-1)=0 λ=0 m=2, λ=1 m=1 (soluciones reales pero iguales) ---> y =c1e^0t+c2te^1t+c3e^1t

c) y'' +y =0 ---> λ²y+y=0 y(λ+1)=0 λ=+i λ=-i (soluciones imaginarias) ---> y=c1e^0tcos(1t)+c2e^0tsen(1t)

*Ec. orden superior (no homogéneas)

sol. homogenea: y_h=c1e^0t+c2e^1t

c1'+c2'e^t=0

e^tc2'=e^t c2=t, c1=-e^t --->y=c1e^0t+c2e^1t +(c1e^0t)+(c2e^t)

*Transformada de Laplace

1/x-->1 1/x²-->t 1/x³-->t²/2 w/x²+w²-->sen(wt) x/x²+w²-->cos(wt) 1/x+α-->e^-αt 1/x-α--> e^αt 1/x²(x+1)-->descomp. fracciones simples

*Trasf. ec. diferenciales en Laplace

x''-->x²f(x)-xf(0)-f'(0)

x'-->xf(x)-f(0)

x'''-->x³f(x) -x²f(0)-xf`(0)-f''(0)

x--> f(x)

x''+x'=e^t ---> x²f(x)+xf(x)=1/x-1

(descomposición en fracciones simples y calcular la transformada de Laplace)

*Funciones a trozos

y'''+4y'=b(t) b(t)= 1 si 01,>-1 si 10 t>2