Resumen de Conceptos Matemáticos: Funciones, Trigonometría y Geometría

Funciones

Definición

Función: Relación entre dos magnitudes por la que a cada valor de una de ellas corresponde un valor determinado de la otra.

Dominio y Recorrido

Dominio: Conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente.

Recorrido: Conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente.

Continuidad y Discontinuidad

Continuidad: Una función es continua en los puntos de un intervalo si su gráfica no presenta saltos ni interrupciones en dicho intervalo.

Discontinuidad: Son los puntos donde la gráfica de una función presenta saltos o interrupciones.

Tasa de Variación (TV)

TV: La TV de una función f(x) en un intervalo [a, b] es el aumento o disminución que experimenta el valor de la función al pasar la variable independiente del valor a al valor b.

Crecimiento y Decrecimiento

Crecimiento: Una función es creciente en un intervalo si para todo par de valores en ese intervalo la tasa de variación es positiva.

Decrecimiento: Una función es decreciente en un intervalo si para todo par de valores en ese intervalo la tasa de variación es negativa.

Máximos y Mínimos Relativos

Máximo relativo: Si para los valores situados inmediatamente a su izquierda la función crece y para los de su derecha decrece.

Mínimo relativo: Si para los valores situados inmediatamente a su izquierda la función decrece y para los de su derecha crece.

Máximos y Mínimos Absolutos

Al mayor y al menor valor que toma una función en un intervalo se les llama máximos y mínimos absolutos de la función en dicho intervalo.

Simetría

Función simétrica o par: Cuando para cualquier valor x de su dominio se verifica que f(-x) = f(x).

Función simétrica impar: Cuando para cualquier valor x de su dominio se verifica que f(-x) = -f(x).

Función Periódica

Función periódica: Cuando los valores que toma se van repitiendo cada cierto intervalo, que se llama período.

Función Lineal

Las funciones y = mx se llaman funciones de primer grado o lineal. El número m no puede ser 0 y m es la constante. Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Función Afín

De la forma y = mx + n, su gráfica es una recta, m es la pendiente de la recta y n es la ordenada al origen (donde la recta corta en el eje y).

Función Cuadrática

Es una parábola de la forma y = ax² + bx + c con a distinto de 0.

Trigonometría

Teoremas en Triángulos Rectángulos

Teorema de la altura: En el triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos: h² = b' * c'.

Teorema del cateto: En el triángulo rectángulo, el cuadrado de cada cateto es igual a su proyección por la hipotenusa: b² = b' * a, c² = c' * a.

Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa: a² = b² + c².

Teorema de Tales

Toda recta paralela a un lado de un triángulo y que corta a los otros dos, determina un triángulo más pequeño que es semejante al original.

AB / A'B' = AC / A'C' = BC / B'C'

Áreas

• Rectángulo: A = b * h
• Paralelogramo: A = b * h
• Rombo: A = (D * d) / 2
• Triángulo: A = (b * h) / 2
• Trapecio: A = ((B + b) * h) / 2
• Polígono regular: A = (P * a) / 2
• Longitud del arco de circunferencia: L = (2π * r * n) / 360
• Sector circular: A = (π * r² * n) / 360
• Área del círculo: A = π * r²
• Corona circular: A = π * (R² - r²)
• Longitud de la circunferencia: L = 2π * r
• Trapecio circular: A = (π * n * (R² - r²)) / 360

Cuerpos Geométricos

Prisma

A_t = 2A_b + A_l

A_l = número de caras laterales * área de una cara lateral

V = A_b * h

Pirámide

A_t = A_b + A_l

A_l = área de un triángulo lateral * número de triángulos laterales

V = (A_b * h) / 3

Cilindro

A_t = 2A_b + A_l

A_b = π * r²

A_l = 2π * r * h

V = A_b * h

Cono

A_t = A_b + A_l

A_b = π * r²

A_l = π * r * g

V = (A_b * h) / 3

Esfera

Área = 4π * r²

Volumen = (4/3) * π * r³