El Rotacional de un Campo Vectorial y Otros Conceptos en Física

ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

Llamamos remolino a un vector axial que nos indicará si una línea de corriente es una línea cerrada en torno a un punto en un campo vectorial. Rotacional: el vector axial que nos da la curvatura de las líneas de fuerza en un campo, la densidad superficial de remolinos o el número de remolinos que existen en una superficie unitaria. Si consideramos una superficie dividida en superficies elementales y en cada una de ellas un remolino unitario, tal como se indica:

Δℝ = lim _ΔS→0∮c*d.L/ΔS.

“La circulación a lo largo de una línea cerrada es igual al flujo del rotacional en dicha línea”.

∬_srot ∇ * d∇ = ∮_c∇ * d∇

Si el campo es conservativo:

∮_c∇ * d∇ = 0 → rot ∇ = 0

∇_(x,y,z) ∇_{(x+dx,y+dy,z+dz)}

Para que un campo sea conservativo es necesario que su rotacional sea nulo, es decir, un campo conservativo es irrotacional; por tanto, sus líneas de fuerza no son curvas, sino rectas. Consideremos un punto situado en el plano YZ, tomando como línea cerrada un rectángulo elemental de lados dy, dz. Calculemos la circulación a lo largo de MN y M’N’. La componente del campo ξ̄ paralela al eje OZ toma en los puntos Q y Q’ los valores:

En Q: F_z+∂F_z/∂y * dy/2. En Q’: F_z-∂F_z/∂y * dy/2

El valor de la circulación es: (∂F_z/∂y)dxdy = (F_z+∂F_z/∂y * dy/2)dx + (F_z-∂F_z/∂y * dy/2)(-dx).

De igual modo, para los lados MM’ y NN’: (-∂F_y/∂z)dxdz = (F_y+∂F_y/∂z * dz/2)dx + (F_y-∂F_y/∂z * dz/2)(-dx).

La circulación total será: dΓ = (∂F_z/∂y - ∂F_y/∂z)dxdy.

La densidad de puntos de remolino será: (ω_x) = dΓ/dxdy = ∂F_z/∂y - ∂F_y/∂z; (ω_y) = dΓ/dxdz = ∂F_x/∂z - ∂F_z/∂x (ω_z) = dΓ/dydz = ∂F_y/∂x - ∂F_x/∂y.

∇̄ = (∂F_z/∂y - ∂F_y/∂z)î + (∂F_x/∂z - ∂F_z/∂x)ĵ + (∂F_y/∂x - ∂F_x/∂y)k̂.

∇̄ = ∇ × ∇̄

TEOREMA DE GAUSS PARA EL CAMPO ELÉCTRICO

Supongamos una carga positiva q+, las líneas de campo salen de ella de forma radial. Para hallar el flujo de esta carga supongamos una superficie esférica cuyo centro coincida con la posición de la carga. Por la ley de Coulomb sabemos que el campo eléctrico en cada punto de dicha superficie vale E=k*q/r² El flujo a través de esa superficie será:

Φ = ∮E * dS = k*Q/r^2 * ∮dS = k*q/r^2 * 4πr² = 4πkq = q/ε₀ . A partir de aquí deducimos:

• El flujo es una magnitud escalar;
• el flujo que atraviesa una superficie gaussiana esférica es independiente del radio de la esfera y proporcional a la carga contenida en dicha esfera.
• El flujo es independiente de la forma de la superficie.

En el caso de que dentro de una superficie existan varias cargas, cada una crearía su propio campo y en consecuencia su propio flujo, por lo que el flujo total será:

Φ = Φ₁ + Φ₂ +⋯Φ_n = q₁/ε₀ + q₂/ε₀ +⋯q_n/ε₀ → Φ = Σq/ε₀ = ∮E * dS

CAMPO MAGNÉTICO POR UNA ESPIRA CUADRADA

Por la simetría de la espira calculamos el campo debido a uno de los lados y luego sumamos las contribuciones de los otros. dB = (KI * d∇ × R)/r^3 = K*I * dx * R * senθ)/r^3; B = K*I∮(senθ/r^2) * dx. Tgθ = R/x; B = K*I∮senθdθ = KI*(cosθ₁-cosθ₂)

POTENCIA EN UN CIRCUITO DE C.A

La potencia instantánea suministrada por un generador es la tensión por la corriente. P = V * I = V_m * I_m * sen(wt) * sen(wt+φ).

La potencia media en un ciclo será: P = 1/t∫Pdt = 1/2 * V_mI_m * cos(φ).

En el caso de una magnitud senoidal, V_ef = V_m/2^0,5:

I² = I_m²sen²(wt+φ); <I²> = I_m²<sen²(wt+φ)> = 1/2 * I_m²; I_e = I_m/2^0,5.

La potencia puede escribirse como P = V_eI_e * cos(φ), donde cos(φ) es el factor de potencia. La aparente es: S = V₀ * I * (Cos(φ) + Sen(φ)), la activa: P = V₀I * cos(φ) y la reactiva Q = V₀Isen(φ).

LÍNEA UNIFORMEMENTE CARGADA

Consideramos una línea de longitud infinita y densidad de carga λ. Nos interesa calcular E a una distancia de la línea. E = k * (Dq/r²) = k * (λ * dX/x²+y²). Los componentes serán dE_x = dE * sen(θ) y dE_y = dE * cos(θ). Todo elemento dE_x será nulo porque siempre habrá un elemento simétrico que lo anule. E = 2k∫cos(θ) * (λdX/x²+y²) = k * 2λ/y