Sistemas de Ecuaciones Lineales

Ecuaciones lineales: dados los escalares reales a1, a2…an y b se denomina ecuacin lineal con n

incógnitas a la expresin: A1X1+A2X2+…+AnXn=b. Las n incógnitas o variables estn representadas

por los smbolos x1, x2…xn, los A son coefificientes de x para i=1,2,…n y B es el termino

independiente de la ecuacin. Al conjunto ordenado de ecalares reales(delta1, delta2…deltan) que

verifican la ecuacin (A1X1, A2X2…AnXn=b) es la solucin de la ecucacion SEL.

Las ecucaciones lineales de 2 incógnitas representan rectas en el plano y las de 3 un plano en el

espacio

clasificación sistemas lineales según su solución:

 sistema compatible: -determinado(única solución)

-indeterminado(infinitas soluciones)

 sistema incompatible: (no tiene solución)

Representación grafica: a11x1 + a12x2=b1

a21x1 + a22x2=b2

Métodos para resolver estos tipos de sistemas:

1-igualación, 2- sustitución, 3- regla de cramer, 4- resolución matricial, 5- método de gauss y gauss jordán.

interpretación geométrica:

Igualación; dos rectas secantes. Ej: se intersectan en el punto (2;-1)

sustitución: son dos rectas paralelas

graficas:--->del otro lado

Teorema de rouche-frobenius

 Matriz de mxn y m=n

 se compara el rango de la matriz de coeficientes con el rango de la matriz ampliada: si r(a)=r(a,b)=n

entonces el sistema de ecuaciones lineales es comp. Det.

si r(a)=r(a,b)<n entonces comp. Indet.

si r(a) = r(a,b) entonces es incompatible.

Rango de una matriz se denomina rango de una matriz A al a cantidad de renglones no nullos que

tiene cualquier forma escalonada de dicha matriz. Se simboliza r(A). Desde luego, el rango de una

matriz es = o menor al numero de filas que posee.

Mtodo Orlando: el concepto de determinante permite obtener otro mtodo para calcular el rango

de una matriz, adems el ya expuesto, es necesario conocer los sig conceptos:

1_ menor de orden p de una matriz: es el determinante una matriz que se obtiene de considerar p

filas y p columnas A.

2_ orlar un menor de orden p de una matriz A: es considerarun menor de orden p+1 obtenido al

agregarle a dicho menor de orden p, otra fila y otra columna de la matriz A. Ademas se verifica que

si M es una matriz cuadrada de orden p, entonces r(m) = p |m| distinto de 0, o bien r(m)<p=0

Grafica de una ecuacin y lugar geométrico

En la geoetria surgen 2 problemas fundamentales:

1) Dada una ecuacin interpretarla geomtricamente

2) Dada una grafica determinar su ecuacin

Grafica de una ecuacin; dada una funcin f(x,y)=0 en gral hay nmeros infinitos de pares de num

que satisfacen esa ecuacin, esto se llama coordenadas y el par esta formado por x e y.

El conjunto de puntos que forman una ecuacin se llama grafica de una ecuacin o bien lugares

geomtricas y a su vez estos puntos pueden formar una curva, recta, etc.

1) Interseccincon los ejes de coordenadas:

Simetra: llamamos así a lo que sucede de forma exactamente de una lado del eje a otro.

A- Intersección con el eje de ordenadas x=0 p(o,y)

B- Interseccin con el eje de absisas y=0 p(x,0)

Con respecto al eje Y: significa que todo lo que ocurre a la derecha del eje y , ocurre a la

izquierda de el. Y graficamnte se puede observar que las coordenadas de Y son ambos

lados iguales y la de x también, pero cambiadas de signo. Ej: (-2,3) y (2,3)

Con respecto al eje X: significa que todo lo que ocurre por encima del eje X, ocurre por

debajo: grficamente se puede observar que los valores de x son iguales y los de Y cambian

su signo. Ej: x2 (1,1) y (1,-1)

Con respecto al eje de ordenadas: sea p (x,y)=0 un punto que conforma una curva para

que esta sea simultanea con 0 se deduce que debe haber otro punto p(-x,-y) tal que 0 sea