Sistemas de ecuaciones, matrices y operaciones clave en Álgebra Lineal

¿Qué características debe tener un sistema de ecuaciones para que sea inconsistente? Justifique gráficamente.

Respuesta: Un sistema de dos ecuaciones lineales es inconsistente cuando las rectas correspondientes son paralelas y distintas. Gráficamente, esto significa que las rectas tienen la misma pendiente pero distinto término independiente, por lo que no se intersecan y no existe ningún punto común (no hay solución).

Justifique por qué se puede decir en los números reales que solo existe la suma

Respuesta: En los números reales la operación básica es la adición. La resta no es una operación primitiva independiente: restar es lo mismo que sumar el inverso aditivo (por ejemplo, a - b = a + (−b)). Por eso se puede decir que, desde el punto de vista algebraico, la resta se realiza mediante la suma del inverso aditivo.

¿Cuál es la diferencia entre suma y adición?

Respuesta: La adición es la operación de combinar dos o más números; la suma es el resultado de esa operación. Es decir, al realizar la adición de 2 y 3, el resultado (la suma) es 5.

¿Qué características debe tener un sistema de ecuaciones para que tenga solución única? Justifique gráficamente.

Respuesta: Un sistema de dos ecuaciones lineales tiene solución única cuando las rectas se intersecan en un solo punto. Gráficamente, las rectas tienen pendientes distintas y, por tanto, se cruzan en exactamente un punto, que corresponde a la solución única del sistema.

¿Cuál es la diferencia entre el inverso multiplicativo y el inverso aditivo?

Respuesta:

• Inverso aditivo: Para un número a, su inverso aditivo es −a, tal que a + (−a) = 0.
• Inverso multiplicativo: Para un número no nulo a, su inverso multiplicativo es 1/a, tal que a · (1/a) = 1.

¿Qué características debe tener un sistema de ecuaciones para tenga solución infinita? Justifique gráficamente.

Respuesta: Un sistema tiene infinitas soluciones cuando las ecuaciones representan la misma recta (coinciden), es decir, son proporcionales entre sí. Gráficamente, ambas rectas se superponen y cualquier punto de esa recta es solución, por lo que hay infinitas soluciones.

¿Cuál es la diferencia entre el mínimo común múltiplo de dos números y el máximo común divisor de los mismos?

Respuesta:

• Mínimo común múltiplo (m.c.m.): es el menor número positivo que es múltiplo de ambos números.
• Máximo común divisor (m.c.d.): es el mayor número entero que divide exactamente a ambos números.

En la factorización prima, para obtener el m.c.m. se toman las potencias máximas de cada primo; para el m.c.d. se toman las potencias mínimas.

¿Qué relación existe entre el triángulo de Pascal y el Binomio de Newton?

Respuesta: Cada fila del triángulo de Pascal contiene los coeficientes del desarrollo de una potencia del binomio de Newton. Es decir, los números de la n-ésima fila son los coeficientes del desarrollo de (a + b)^n.

¿Cuál es la diferencia entre una matriz escalonada y una escalonada reducida?

Respuesta:

• Matriz escalonada (forma escalonada por filas): tiene filas de ceros (si las hay) debajo de las filas no nulas, y cada pivote (primer elemento no nulo de una fila) aparece más a la derecha que el pivote de la fila anterior; hay ceros por debajo de cada pivote.
• Matriz escalonada reducida (forma escalonada reducida por filas): además de ser escalonada, cada pivote es 1 y es el único elemento no nulo en su columna (por lo tanto hay ceros debajo y encima de cada pivote).

Menciona las operaciones elementales que se puede realizar en una matriz

Respuesta: Las operaciones elementales sobre renglones son:

• Multiplicar un renglón por un número distinto de cero.
• Sumar a un renglón un múltiplo de otro renglón.
• Intercambiar dos renglones.

¿Qué es la inversa de una matriz?

Respuesta: Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden tales que A·B = B·A = I (la matriz identidad), entonces B se llama la inversa de A y se denota A⁻¹. Si A tiene inversa, se dice que A es invertible. En ese caso A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I.

¿Cuál es la diferencia entre el producto punto y el producto cruz?

Respuesta:

• Producto punto (o escalar): dada por la suma de productos de componentes; el resultado es un escalar. Se usa en cualquier dimensión (R^n).
• Producto cruz (o vectorial): definido solo en R^3; el resultado es un vector perpendicular a los dos vectores originales, con magnitud igual al área del paralelogramo que forman.

¿Cuál es la diferencia entre la eliminación gaussiana y el método de Gauss-Jordan?

Respuesta:

• Eliminación gaussiana: transforma la matriz aumentada del sistema hasta obtener una matriz escalonada superior (forma escalonada por filas). Tras ello se aplica sustitución regresiva para obtener las soluciones.
• Gauss-Jordan: continúa las operaciones hasta obtener la forma escalonada reducida por filas (en el caso de una matriz invertible, la identidad). No requiere sustitución regresiva; las soluciones aparecen directamente.

¿Qué es una matriz elemental?

Respuesta: Una matriz elemental es una matriz cuadrada que se obtiene al aplicar una sola operación elemental de renglón a la matriz identidad. Multiplicar una matriz por una matriz elemental equivale a aplicar esa operación elemental de renglón a la matriz.