Sistemas de Ecuaciones: Métodos de Solución
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Sistemas de Ecuaciones
Definición
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones (en este caso 2 ecuaciones) con varias incógnitas (también 2) que aparecen en una o varias de las ecuaciones.
Ejemplo:
x + 2y = 5
2x + 5y = 12
Ejemplos de Situaciones
| Situación | x | y | Descripción |
|---|---|---|---|
| 1 | Perros | Gallinas | Se desconoce la cantidad de animales. |
| 2 | Canicas de Acero | Canicas de Cristal | Se desconoce el valor de cada canica. |
| 3 | Entrada de Niño | Entrada de Adulto | Se conoce el total de entradas, pero no el precio de cada una. |
| 4 | Chayotes | Zanahorias | Se desconoce el área cultivada. |
Métodos de Solución
- Sustitución
- Igualación
- Reducción
- Gráfico
Ejemplo: Método de Reducción
x + 2y = 5
2x + 5y = 12
Paso 1: Eliminar una variable
(x + 2y = 5) * (-2)
-2x - 4y = -10
2x + 5y = 12
y = 2
(x + 2y = 5) * (5)
(2x + 5y = 12) * (-2)
5x + 10y = 25
-4x - 10y = -24
x = 1
Paso 2: Sustituir y = 2 en la ecuación 1
x + 2(2) = 5
x + 4 = 5
x = 1
Paso 3: Sustituir x = 1 e y = 2 en la ecuación 2
2(1) + 5(2) = 12
2 + 10 = 12
12 = 12
Método de Sustitución
NOTA: Buscar la ecuación más fácil de despejar.
Ejemplo:
x + 2y = 5
2x + 5y = 12
Paso 1: Despejar x en la ecuación 1
x = 5 - 2y
Paso 2: Sustituir x = 5 - 2y en la ecuación 2
2(5 - 2y) + 5y = 12
10 - 4y + 5y = 12
y = 2
Paso 3: Sustituir y = 2 en la ecuación 1
x + 2(2) = 5
x + 4 = 5
x = 1
Paso 4: Sustituir x = 1 e y = 2 en ambas ecuaciones
1 + 2(2) = 5
5 = 5
2(1) + 5(2) = 12
12 = 12
Método de Igualación
Nota: En el método de sustitución, se debe observar o analizar aquella variable en cualquiera de las dos ecuaciones que su coeficiente sea igual a uno, ya que esto facilitará los siguientes pasos.
Paso 1: Despejar una variable en ambas ecuaciones (en este caso x)
x + 2y = 5 2x + 5y = 12
x = 5 - 2y 2x = 12 - 5y
x = (12 - 5y) / 2
Paso 2: Igualar los resultados
5 - 2y = (12 - 5y) / 2
2(5 - 2y) = 12 - 5y
10 - 4y = 12 - 5y
y = 2
Nota: Al usar cualquier método para resolver un sistema de ecuaciones, los valores de x e y siempre serán los mismos.
Paso 3: Sustituir y = 2 en la ecuación 2
2x + 5(2) = 12
2x + 10 = 12
2x = 2
x = 1
Nota: Para realizar el segundo paso, solo se coloca lo que se encuentra después del igual.
Paso 4: Sustituir x = 1 e y = 2 en la ecuación 1
1 + 2(2) = 5
5 = 5
Nota: Si se utilizó la ecuación 2 para despejar, se usa la ecuación 1 para sustituir.