Sistemas Numéricos Fundamentales: Conversión Decimal, Binaria y Octal, Aritmética Digital

Teorema Fundamental de la Numeración

El Teorema Fundamental de la Numeración establece que cualquier número puede expresarse como la suma de cada uno de sus dígitos multiplicado por la base elevada a la posición que ocupa. Por ejemplo, para el número decimal 6578:

6578₁₀ = (6 × 10³) + (5 × 10²) + (7 × 10¹) + (8 × 10⁰)

= (6 × 1000) + (5 × 100) + (7 × 10) + (8 × 1)

= 6000 + 500 + 70 + 8 = 6578

Conversión entre Sistemas Numéricos

Conversión de Decimal a Binario

Números Enteros Decimales a Binario

Para convertir un número entero decimal a binario, se divide sucesivamente el número entre 2 y se toman los residuos en orden inverso.

Ejemplo: Convertir 25₁₀ a binario

• 25 ÷ 2 = 12, resto 1
• 12 ÷ 2 = 6, resto 0
• 6 ÷ 2 = 3, resto 0
• 3 ÷ 2 = 1, resto 1
• 1 ÷ 2 = 0, resto 1

Leyendo los restos de abajo hacia arriba: 25₁₀ = 11001₂

Números Fraccionarios Decimales a Binario

Para convertir un número decimal con parte fraccionaria a binario, se convierte la parte entera y la parte fraccionaria por separado.

Ejemplo: Convertir 12.125₁₀ a binario

Primero, la parte entera: 12₁₀ = 1100₂

Luego, la parte fraccionaria: Se multiplica la parte fraccionaria sucesivamente por 2 y se toman las partes enteras resultantes.

• 0.125 × 2 = 0.250 → parte entera 0
• 0.250 × 2 = 0.500 → parte entera 0
• 0.500 × 2 = 1.000 → parte entera 1

Leyendo las partes enteras de arriba hacia abajo: 0.125₁₀ = 0.001₂

Combinando ambas partes: 12.125₁₀ = 1100.001₂

Fracciones Decimales Periódicas a Binario (Error de Representación)

Algunas fracciones decimales no tienen una representación binaria finita, lo que puede llevar a errores de redondeo o truncamiento.

Ejemplo: Convertir 0.6₁₀ a binario (con 7 bits de precisión)

• 0.6 × 2 = 1.2 → parte entera 1
• 0.2 × 2 = 0.4 → parte entera 0
• 0.4 × 2 = 0.8 → parte entera 0
• 0.8 × 2 = 1.6 → parte entera 1
• 0.6 × 2 = 1.2 → parte entera 1
• 0.2 × 2 = 0.4 → parte entera 0
• 0.4 × 2 = 0.8 → parte entera 0

Leyendo las partes enteras de arriba hacia abajo: 0.6₁₀ ≈ 0.1001100₂

Conversión de Binario a Decimal

Números Fraccionarios Binarios a Decimal

Para convertir un número binario con parte fraccionaria a decimal, se utiliza el Teorema Fundamental de la Numeración, donde cada dígito se multiplica por 2 elevado a su posición (positiva para la parte entera, negativa para la parte fraccionaria).

Ejemplo: Convertir 110.0011₂ a decimal

Primero, la parte entera: 110₂ = (1 × 2²) + (1 × 2¹) + (0 × 2⁰) = 4 + 2 + 0 = 6₁₀

Luego, la parte fraccionaria: 0.0011₂ = (0 × 2⁻¹) + (0 × 2⁻²) + (1 × 2⁻³) + (1 × 2⁻⁴)

= (0 × 0.5) + (0 × 0.25) + (1 × 0.125) + (1 × 0.0625)

= 0 + 0 + 0.125 + 0.0625 = 0.1875₁₀

Combinando ambas partes: 110.0011₂ = 6.1875₁₀

Conversión a Sistema Octal

Para convertir un número decimal a octal, se divide sucesivamente el número entre 8 y se toman los residuos en orden inverso.

Ejemplo: Convertir 925₁₀ a octal

• 925 ÷ 8 = 115, resto 5
• 115 ÷ 8 = 14, resto 3
• 14 ÷ 8 = 1, resto 6
• 1 ÷ 8 = 0, resto 1

Leyendo los restos de abajo hacia arriba: 925₁₀ = 1635₈

Aritmética Binaria

Suma Binaria

Las reglas básicas para la suma de números binarios son:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 0, con un acarreo de 1 (se escribe 0 y se lleva 1 a la siguiente posición)

Resta Binaria (con Préstamos/Acarreos)

Las reglas básicas para la resta de números binarios son:

• 0 - 0 = 0
• 1 - 0 = 1
• 1 - 1 = 0
• 0 - 1 = 1, con un préstamo de 1 de la siguiente posición (equivalente a 10₂ - 1₂ = 1₂)