Subespacios Vectoriales y Álgebra de Matrices: Conceptos Esenciales

Subespacios Vectoriales y Álgebra de Matrices: Conceptos Esenciales

Subespacios Vectoriales: Sea S un subconjunto no vacío de vectores del espacio vectorial Rn. Diremos que S es un subespacio vectorial de Rn si (S,+,R) tiene estructura de espacio vectorial.

Caracterización de Subespacio Vectorial

Dado el espacio vectorial Rn y un subconjunto no vacío S de Rn, una condición necesaria y suficiente para que S sea un subespacio vectorial es: α .x + β .y ∈ S ∀x, y ∈ S ,∀α ,β ∈ R

Combinación Lineal. Sistema de Generadores

Dados los vectores u1, u2, ..., um pertenecientes al espacio vectorial Rn y los escalares α1, α2,... αm ∈ R, la expresión α1+u1, α2+u2,.... αm+um denomínase combinación lineal de los vectores u1, u2,...., um .

Diremos que el conjunto de vectores u1, u2,...., um es un sistema de generadores del espacio vectorial Rn si todo vector de Rn se puede escribir como combinación lineal de u1, u2,...., um

Se dice que un espacio vectorial tiene dimensión finita si posee un sistema de generadores finito o, dicho de otro modo, si está generado por un número finito de vectores.

Se dice que un conjunto de vectores { u1, u2,...., um } es linealmente independiente o un conjunto libre de vectores si

Si no se verifica lo anterior, es decir

se dice que los vectores son linealmente dependientes o que forman un conjunto ligado de vectores.

Se dice que el conjunto { u1, u2,...., uN } es una base de un espacio vectorial si los vectores que forman el conjunto son linealmente independientes y además son un sistema de generadores de dicho espacio vectorial.

Un conjunto { u1, u2,...., uN } es una base de un espacio vectorial si y sólo si todo vector del espacio vectorial se puede escribir de manera única como combinación lineal de los elementos B.

Defínese la dimensión de un espacio vectorial como el número de elementos de una base de ese espacio vectorial.

Revisión del Álgebra de Matrices: Definiciones y Tipos

Sean aij elementos de (i=1,2,....m;j=1,2,...,m ). Al conjunto de esos elementos dispuestos de forma rectangular en forma de m filas y n columnas de la siguiente manera

denomínase matriz de dimensión, tipo u orden m x n × o (m,n) . Además se denota como aij a un elemento genérico de la matriz A.

Dada una matriz A∈Mm×n , se llama submatriz de A a cualquier matriz obtenida a partir de A eliminando alguna de sus filas y/o columnas.

Dos matrices A=(aij ) y B(bij ) de orden m x n son iguales si y sólo si todos los elementos que ocupan la misma posición en la matriz son iguales, es decir:

Denomínase matriz traspuesta de A y se denota por At (o por A`) a la matriz resultante de intercambiar las filas y las columnas de A.

Denomínase matriz cuadrada a aquella matriz que posee igual número de filas y de columnas. Se denota por n M el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n

Suma de Matrices: Definición y Propiedades

Dada una matriz A=(aij )∈ Mmxn y un número real α∈ R defínese el producto de la matriz A por un número real α como la matriz α .A=(α .aij) ∈ Mmxn

Dadas dos matrices A=(aij )∈ Mmxn y B=(bij )∈Mmxn defínese el producto de matrices · AB como la matriz A.B=(cij )∈ Mmxn de elementos

Sea A=(aij ) ∈Mn Se llama menor complementario de un elemento aij de la matriz, y se denota * ij A , al determinante de la submatriz resultante de eliminar en la matriz A la fila − i ésima y la columna − j ésima.

Sea A=(aij ) ∈Mn Se llama adjunto o cofactor de aij y se denota Aij a:

SeaA=(aij ) ∈Mn . Se denomina matriz adjunta de A y se denota ( ) AdA a la matriz que tiene por elementos los adjuntos de los elementos de:

Sea A ∈ Mn.O determinante de A es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos:

Sea A ∈ Mmxn . Se llama rango de una matriz A y se denota rg(A) o r (A) al máximo número de filas o columnas de la matriz A linealmente independientes.

Sea A una matriz cuadrada de orden n,A∈ Mn. Se dice que A es una matriz no singular o matriz regular si rg=(A) n, es decir, si el rango de la matriz A es máximo.

Sea A una matriz cuadrada de orden n, A ∈ Mn. Si existe, la matriz inversa de la matriz A se denota A^-1 , y es una matriz cuadrada también de orden n, A^-1∈ Mn, que verifica:

Se dice que una matriz A es invertible cuando existe su inversa.

Sea A una matriz cuadrada de orden n,A∈ Mn. Se dice que un vector x∈Rn no nulo ( x≠θ) es un autovector o un vector propio o un vector característico de la matriz A si ∃λ∈R,tal que:

Sea A una matriz cuadrada de orden n, A∈ Mn.Denomínase polinomio característico de la matriz A al I A - λ.iI que es un polinomio en la variable λ de grado n y coeficientes reales.

Sea A una matriz cuadrada de orden n, A∈ Mn . Se denomina ecuación característica de la matriz A a la ecuación I A - λ.iI = 0

Si A es una matriz cuadrada y simétrica de orden n, A∈ Mn entonces todos sus autovalores son reales.

Sean V, W espacios vectoriales reales. Una aplicación : f V W → denomínase aplicación lineal si verifica las dos siguientes condiciones

de aplicación lineal

Sean 𝒱, 𝒲 espacios vectoriales reales (sobre ℝ). Una aplicación 𝑓:𝒱→ 𝒲 es una aplicación lineal si cumple: 1.- 𝑓(𝑢+𝑣)=𝑓(𝑢)+𝑓(𝑣) ∀𝑢,𝑣 ∈𝒱 2.- 𝑓(𝛼𝑢)=𝛼𝑓(𝑢) ∀𝑢∈𝒱, ∀𝛼∈ ℝ Estas dos condiciones se pueden resumir en una sola: f(𝑎𝑢+𝑏𝑣)=𝑎𝑓(𝑢)+𝑏𝑓(𝑣) ∀𝑢,𝑣 ∈𝒱, ∀𝑎,𝑏∈ℝ

núcleo o Ker de una aplicación lineal

Sea 𝑓:𝒱→ 𝒲 una aplicación lineal (donde V y W son subespacios vectoriales) El núcleo de una aplicación (𝐾𝑒𝑟(𝑓)) es un subespacio vectorial del espacio V inicial (𝐾𝑒𝑟(𝑓)⊆𝒱) tal que: K𝑒𝑟(𝑓) ={𝑣∈𝒱/𝑓(𝑣)= 0𝑤}=𝑓−1( 0𝑤) El 𝐾𝑒𝑟(𝑓) o núcleo son los elementos de V que tienen por imagen al vector nulo.

imagen de una aplicación lineal

es un subespacio del espacio final (𝐼𝑚(𝑓)⊆𝒲), tal que I𝑚(𝑓)=𝑓(𝒱)={𝑤∈𝒲/𝑓(𝑣)=𝑤;,𝑣∈𝒱}={𝑓(𝑣)/𝑣∈𝒱} La imagen de f son los elementos de W que son imagen de un elemento de V

función inyectiva

si los elementos distintos de V tienen imágenes en W distintas: f 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ⟺[𝑢≠𝑣 ⇒𝑓(𝑢)≠𝑓(𝑣), ∀𝑢,𝑣 ∈ℝ], 𝑜 é𝗊𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 f 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ⟺[𝑓(𝑢)=𝑓(𝑣)⇒𝑢=𝑣, ∀𝑢,𝑣 ∈ℝ] T𝑜𝑑𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛 ú𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ⟺ K𝑒𝑟(𝑓)={ 0𝑣} U𝑛𝑎 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑚ó𝑟𝑓𝑖𝑐𝑎 (𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑛ú𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙) y 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑚(𝐾𝑒𝑟(𝑓))=0

Función sobreyectiva

si todo elemento de W es imagen de un elemento de V: f 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ⟺ [∀𝑤∈𝒲 ∃ 𝑣∈𝒱/𝑓(𝑣)=𝑤] T𝑜𝑑𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ⟺ 𝐼𝑚(𝑓)={𝒲} (𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛) y 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑚(𝒲)=dim (𝐼𝑚(𝑓)) RECORDAR: El rango de una aplicación lineal es igual a la dimensión de la imagen de la aplicación ⟹ dim(𝐼𝑚(𝑓))=𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑓

Función biyectiva Es aquella que es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Teorema fundamental de las dimensiones de V y W

s𝑒𝑎 𝑓:𝑉 → 𝑊 d𝑖𝑚 (𝑉) = 𝑑𝑖𝑚(𝐾𝑒𝑟(𝑓))+𝑑𝑖𝑚(𝐼𝑚(𝑓)) p𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 → 𝑑𝑖𝑚 (𝐼𝑚(𝑓)) ≤ 𝑑𝑖𝑚 (𝑉) 

-¿Cuándo es invertible una aplicación lineal? Define inversa de una aplicación lineal Para calcular la inversa tiene que ser biyectiva (si no es biyectiva no se puede calcular la inversa). Sea 𝑓 una aplicación lineal biyectiva (isomorfismo) de V en W, definimos la inversa de 𝑓 (𝑓−1) como una aplicación de W en V donde: f−1:𝑊 →𝑉  y→𝑓−1(𝑦) = 𝑥 / 𝑓(𝑥)=𝑦 

Un sistema de m ecuacións lineais con n incógnitas ( x1 , x2 ,..., xn) é todo conxunto de m igualdades da forma:

Os elementos aij ∈R denomínanse coeficientes do sistema, os bi∈R termos independentes e á matriz A=(aij )∈ Mm×n é a matriz de coeficientes do sistema.

Se consideramos a matriz de coeficientes do sistema,A=(aij )∈ Mm×n  , e os vectores X=(xj)∈Rn eB=(bj )∈Rn, podemos escribir a forma matricial dun sistema de ecuacións lineais:

 Chámase rango dun sistema de ecuacións lineais ao rango da súa matriz de coeficientes, é dicir:

Denomínase matriz ampliada dun sistema de ecuacións lineais, e denótase por AM, aquela matriz de n+1 columnas, onde as n primeiras columnas coinciden coa matriz A e a columna  n+1 é unha columna formada polos termos independentes do sistema (vector B).

 Chámase forma vectorial dun sistema de ecuacións lineais, á expresión:

Chámase definir un sistema de ecuacións lineais en forma de aplicacións lineais, á expresión:

onde f A (X) é a aplicación lineal que ten por matriz asociada a matriz de coeficientes do sistema, A . 

Chámase solución dun sistema de ecuacións lineais a todo vector X∈Rn que verifique tódalas igualdades simultaneamente

 Clasificación dun sistema de ecuacións lineais en función do número de solucións: (a) Denomínase sistema de ecuacións lineais incompatible (SI) a aquel sistema que non ten solución. (b) Denomínase sistema de ecuacións lineais compatible (SC) a aquel sistema que admite polo menos unha solución. (b1) Denomínase sistema de ecuacións lineais compatible determinado (SCD) a aquel sistema que ten solución única. (b2 ) Denomínase sistema de ecuacións lineais compatible indeterminado (SCI) a aquel sistema que ten infinitas solucións.

Chámase discutir un sistema de ecuacións lineais a clasificar dito sistema en función do número de solucións. É dicir, indicar se o sistema ten unha única solución, infinitas solucións ou ningunha solución; ou o que é o mesmo, indicar se dito sistema é compatible determinado, compatible indeterminado ou incompatible.

 Se un sistema de ecuacións admite máis de unha solución, entón o sistema ten infinitas solucións. Demostración: Sexan 1 X e 2 X dúas solucións distintas dun sistema de ecuacións lineais:  AX1 =B  e 2 AX2= B ⋅. Entón calquera vector da forma λ X1+(1-λ).X2, λ ∈ R, tamén é solución do sistema xa que: 

Teorema de Rouché-Frobenius: Dado un sistema de m ecuacións lineais con n incógnitas, A.X =B , verifícase que: a O sistema é compatible (SC) se e só se rg(A)=rg(AM) b O sistema é compatible determinado (SCD) se e só se rg(A)=rg(AM) (os rangos das matrices A e AM coinciden e son iguais ao número de incógnitas). c O sistema é compatible indeterminado (SCI) se e só se  rg(A)=rg(AM)

Chámase sistema de ecuacións lineais homoxéneo (en forma analítica) ao sistema de ecuacións lineais en que todos os termos independentes son nulos,bi=0 ,∀i=1,2,...m:

Chámase sistema de ecuacións lineais homoxéneo (en forma matricial) a aquel sistema no que o vector de termos independentes do sistema, B, é o vector nulo,θ∈Rm :

 É evidente que X=(X1,x2,...,xn)=(0,0,....0 )= θ sempre é solución do sistema. Polo tanto un sistema homoxéneo é sempre compatible (SC),eso denominase solución trivial 

O conxunto de solucións, H, dun sistema homoxéneo de m ecuacións e n incógnitas é un subconxunto de Rn que ten dim(H)=n-rg() tense que

 Un sistema homoxéneo ten solución única (a solución trivial) se e só se o rango da matriz de coeficientes, A, é igual ao número de incógnitas do sistema, n; ou sexa ⇔ rg(A)=n . Unha condición necesaria e suficiente para que un sistema homoxéneo admita solucións distintas da trivial é que o rango da matriz de coeficientes do sistema, A, sexa menor ao número de incógnitas do sistema, n; ou sexa⇔ rg(A)

 Chámase sistema de Cramer a todo sistema de ecuacións lineais que verifica dúas condicións:  Ten o mesmo número de ecuacións e de incógnitas: m=n e, polo tanto n A∈M .  A matriz de coeficientes do sistema, A, é invertible:|A|≠0 . Todo sistema de Cramer ten solución única; é dicir, todo sistema de Cramer é compatible determinado (SCD). Demostración: Dado o sistema de Cramer A.X=B , como A é invertible, multiplicando por A^-1 obtense:

Tendo en conta que A^-1 é única para cada matriz A, X tamén é único.Para resolver un sistema de Cramer, a solución obtense mediante a expresión coñecida como Regra de Cramer 

- Definición de producto escalar en ℝ𝐧 y de producto escalar definido positivo en ℝ𝐧 Dado el espacio vectorial ℝ𝑛, llamamos producto escalar o interior (se representa por 〈 ,〉 ) a cualquier aplicación 〈 ,〉: ℝ𝑛𝑥 ℝ𝑛→ℝ (𝑥,𝑦)→〈𝑥 ,𝑦〉 Que verifica las siguientes propiedades: 1.- 〈𝑥 ,𝑦〉=〈𝑦,𝑥 〉 ∀𝑥,𝑦∈ ℝ𝑛 2.- 〈𝑥+𝑧,𝑦〉= 〈𝑥 ,𝑦〉+ 〈𝑧 ,𝑦〉 ∀𝑥,𝑦,𝑧∈ ℝ𝑛 3.- 〈𝜆𝑥 ,𝑦〉=𝜆〈𝑦,𝑥 〉 ∀𝑥,𝑦∈ ℝ𝑛, ∀𝜆∈ ℝ Un producto interior (escalar) se denomina producto escalar definido positivo si verifica: 〈𝑥 ,𝑥〉≥0 ∀𝑥∈ ℝ𝑛 𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 〈𝑥 ,𝑥〉=0 ⇔𝑥=𝛳

Definición de vectores ortogonales Dos vectores son ortogonales (𝑥 ⊥ 𝑦) si forman un ángulo recto (es decir un ángulo de 90° ó pi/2 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) 𝑐𝑜𝑠90° = 0) Como el 𝑐𝑜𝑠90° = 0, en la práctica para analizar si dos vectores son ortogonales tendremos que comprobar que: 〈𝑥 ,𝑦〉 = 0

Definición de norma de ℝ𝑛 Sea un espacio vectorial de ℝ𝑛 sobre ℝ . Una norma en ℝ𝑛 (se representa por ‖ ‖) es una aplicación: ‖ ‖: ℝ𝑛 → ℝ+  X →‖𝑥‖ Es decir una norma es cualquier aplicación que a cada vector de ℝ𝑛 le asocia un número real no negativo y que verifica las siguientes propiedades: 1.-‖𝑥‖ = 0⇔𝑥=02. ‖𝑥 +𝑦‖ ≤‖𝑥‖+‖𝑦‖ ∀𝑥,𝑦 ∈ ℝ𝑛 3. ‖𝜆𝑥‖ ≤ |𝜆|‖𝑥‖  ∀𝑥 ∈ ℝ𝑛, ∀𝜆 ∈ ℝ

 Definición de distancia en ℝ𝑛 Sea A un conjunto. Se define la métrica o distancia en A a una aplicación d:𝐴𝑥𝐴 → ℝ+ (𝑥, 𝑦) → 𝑑(𝑥,𝑦) Y que verifica las siguientes propiedades: 1.- d(𝑥,𝑦) = 0 ⇔𝑥 =𝑦 ∀𝑥,𝑦 ∈ 𝐴 2.d(𝑥,𝑦) = 𝑑(𝑦,𝑥)  ∀𝑥,𝑦 ∈ 𝐴 3.d(𝑥,𝑦) ≤ 𝑑(𝑥,𝑧) +𝑑(𝑦,𝑧)  ∀𝑥,𝑦,𝑧 ∈ 𝐴

Define producto escalar euclídeo, norma euclídea y distancia euclídea p𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒖𝒄𝒍í𝒅𝒆𝒐 → 〈𝒙 ,𝒚〉 = 𝒙𝟏𝒚𝟏 +𝒙𝟐𝒚𝟐+..+𝒙𝒏𝒚𝒏 N𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒆𝒖𝒄𝒍í𝒅𝒆𝒂 → ‖𝒙‖ = √∑𝒙𝒊 𝟐 = √𝒙𝟏 𝟐 +𝒙𝟐 𝟐 +⋯+𝒙𝒏^𝟐 𝑫𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒖𝒄𝒍í𝒅𝒆𝒂 → 𝒅(𝒙,𝒚) = √(𝒙𝟏 −𝒚𝟏 )𝟐 +(𝒙𝟐 −𝒚𝟐 )𝟐 +⋯+(𝒙𝒏 −𝒚𝒏 )^2.

 Definición de punto interior. 𝑥0 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 A ⊂ ℝ si está dentro del intervalo abierto: X0 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 A ⊂ ℝ ⇔ 𝑥0 ∈𝐴,∃ 𝑟 >0/(𝑥𝑜 −𝑟,𝑥𝑜 +𝑟) ⊂ 𝐴. A ⊂ ℝ𝑛 si está dentro de la bola abierta: X0 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 A ⊂ ℝ𝑛 ⇔ 𝑥0 ∈ 𝐴,∃ 𝑟 > 0/𝐵𝑜(𝑥0,𝑟) ⊂ A Los puntos interiores son puntos de conjunto: 𝑨𝟎 ⊂ 𝑨 

Definición de punto aislado Xo es un punto aislado de A ⊂ ℝ𝑛 ⇔ 𝑥0 ∈ 𝐴,∃ 𝑟 >0/𝐵𝑜(𝑥0,𝑟)∩𝐴 = {𝑥0} y 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 que (𝐵𝑜(𝑥0,𝑟) − {𝑥0}) ∩ 𝐴 = ∅

Definición de punto adherente Xo es un punto adeherente de A ⊂ ℝ ⇔ ∃ 𝑟 >0/(𝑥𝑜 −𝑟,𝑥𝑜 +𝑟)∩𝐴 ≠∅ 𝑥0 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑑ℎ𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 A ⊂ ℝ𝑛 ⇔ ∃ 𝑟 >0 / 𝐵𝑜(𝑥0,𝑟)∩𝐴 ≠∅.El conjunto A está contenido en la adherencia: 𝑨 ⊂ A barrita arriba

Definición de punto de acumulación de un conjunto 𝐀 ⊂ ℝ𝐧 Xo es un punto de acumulacin de  A ⊂ ℝ𝑛 ⇔ ∃ 𝑟 >0/(𝐵𝑜(𝑥0,𝑟)−{𝑥0})∩𝐴 ≠ ∅

- Definición de punto frontera                                                                                                             A sin barrita

Concepto de conjunto abierto, cerrado y compacto Se dice que el conjunto A es abierto ⇔ Å = 𝐴 (si A es igual a los interiores) Se dice que el conjunto A es cerrado ⇔ 𝐴 = 𝐴 (si A es igual a la adherencia) Se dice que A es acotado ⇔ está acotado superior e inferiormente. Es decir, si existe una bola de radio r finito que contiene al conjunto A -> Xo ∈ 𝐴,∃ 𝑟 > 0/𝐴 ⊂ 𝐵𝑜(𝑥0,𝑟) A es compacto ⇔ { 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑦 e𝑠 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜. A es convexo ⇔ El segmento que une dos puntos cualesquiera de A, está contenido en A

Definición del límite de una sucesión de números reales Se dice que 𝑙 ∈ ℝ es el límite de una sucesión de números reales {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ y se escribe lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝑙 si y sólo si ∀ɛ >0 ∃ 𝑛0∈ℕ / |𝑥𝑛−𝑙|

 Definición de serie Dada una sucesión {𝑥𝑛} de números reales, se llama serie numérica de término general 𝑥𝑛 y se denota por ∑ 𝑥𝑛=1 Xn al par de sucesiones ({𝑥𝑛},{𝑆𝑛}). Donde la sucesión {𝑆𝑛} tiene por terminos generales

Esta sucesión {𝑆𝑛} se llama sucesión de sumas parciales de la serie ∑ ∞ 𝑛=1 X𝑛 y 𝑆𝑛 es la suma parcial n-esima

 Definición de sucesión convergente Sea {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ una sucesión de números reales, diremos que es convergente si tiene un límite (𝑙 ∈ ℝ), es decir lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝑙 ∈ ℝ (𝑥𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑎 𝑙)

Definición de sucesión divergente Sea {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ una sucesión de números reales, diremos que es divergente (o no convergente) si su límite es infinito, es decir lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 =±∞

Concepto de función real de una variable continua en un punto Una función real de una variable real es cualquier aplicación f:ℝ→ ℝ  X→𝑓(𝑥) A veces se denota 𝑦=𝑓(𝑥). donde 𝒙 es la variable independiente e 𝒚 la v. dependiente.

Definición de límite de una función en un punto 𝒙𝟎 Sea 𝑓:𝐴⊂ℝ→ℝ (donde A es el dominio de f y siendo 𝑥0 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐴) Se dice que 𝑙 ∈ℝ es el límite de la función f en un punto 𝑥0 y se denota por l𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝑓(𝑥)=𝑙 𝑠𝑖 ∀ ɛ>0 ∃ 𝛿>0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 p𝑎𝑟𝑎 𝑥∈𝐴 |𝒙−𝒙𝟎|

 Definición de función continua en un punto 𝒙𝟎.  Sea 𝑓:𝐴⊂ℝ→ℝ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓 La función 𝒇 es continua en el punto 𝒙𝟎∈𝑨 ⇔𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝒇(𝒙)=𝒇(𝒙𝟎) Es decir, si ∀ ɛ>0 ∃ 𝛿>0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 para 𝑥∈𝐴 |𝒙−𝒙𝟎|

Enunciar el teorema de Bolzano. Interpretación geométrica. Sea 𝑓 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎, 𝑏] f: [𝑎,𝑏] ⊂ ℝ → ℝ Si { 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 [𝑎, 𝑏] //𝑓(𝑎). 𝑓𝑏)

 Enunciar el teorema del valor intermedio o de Darboux Sea 𝑓 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎, 𝑏] f: [𝑎,𝑏] ⊂ ℝ → ℝ Si f es continua en el intervalo [𝑎, 𝑏] y 𝑥1

Enunciar el teorema de Weierstrass Sea 𝑓 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎, 𝑏] f: [𝑎,𝑏] ⊂ ℝ → ℝ Si 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎,𝑏] y ese intervalo es compacto (es decir cerrado y acotado)... …𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎,𝑏] un máximo y un mínimo absolutos.

 Concepto de función 𝒇:𝑨 ⊂ ℝ → ℝ derivable en un punto 𝒙𝟎 ∈ 𝑨 Sea 𝑓:𝐴 ⊂ ℝ → ℝ y sea 𝑥0 ∈ 𝐴 Diremos que f es derivable en 𝒙𝟎 𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑙 lim 𝑥→𝑥0 ∃ lim 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) /𝑥−𝑥0 

Concepto de función derivable en un punto 𝒙𝟎 y derivada en dicho punto. Si ∃ limx→𝑥0 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) 𝑥−𝑥0 y este límite es finito, entonces le llamaremos “derivada de la función en el punto 𝒙𝟎" 𝑦 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑓´(𝑥) Si 𝑓 es derivable en todos los puntos 𝑥0 ∈ 𝐴 diremos que 𝑓 es derivable en A Definición de derivada en un punto 𝒙𝟎 Si ∃ limx →𝑥0 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) 𝑥−𝑥0 y este limite es finito, entonces le llamaremos derivada de la funcion en el punto Xo 𝑦 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑓´(𝑥) Si 𝑓 es derivable en todos los puntos 𝑥0 ∈ 𝐴 diremos que 𝑓 es derivable en A 

 Definición de diferencial de 𝒇 en un punto 𝒙𝟎 Sea 𝑓:𝐴 ⊂ ℝ → ℝ y sea 𝑥0 ∈ 𝐴 (supongamos que ∃𝑓´(𝑥0)) . Llamamos diferencial de f en el punto 𝒙𝟎 a la aplicación lineal Df(𝑥0): ℝ → ℝ   ℎ →(𝐷𝑓(𝑥0))(ℎ) = 𝑓´(𝑥0)∙ℎ