Técnicas Esenciales para el Análisis de Funciones

Asíntotas Horizontales

Condición: Grado del numerador ≤ Grado del denominador

1. Calcular el límite cuando x tiende a ∞ de la función. Si el resultado es un número, existe una asíntota horizontal.
2. Calcular el límite de +∞ y -∞ de la función para determinar la dirección de la asíntota.

Asíntotas Verticales

1. Igualar el denominador a 0.
2. Calcular el límite del valor obtenido. Habrá una asíntota vertical si el límite tiende a +∞ o -∞.
3. Calcular los límites laterales del valor para determinar la dirección de la asíntota.

Continuidad y Derivabilidad

1. Para que una función sea derivable, debe ser continua.
2. Para que una función sea continua, los límites laterales y la imagen deben ser iguales.
3. Si la función es continua, calcular la derivabilidad.
4. Obtener la derivada de la función.
5. Calcular el límite y la imagen de la derivada. Si son iguales, la función es derivable.

Crecimiento (+) y Decrecimiento (-)

1. Verificar si la función es continua.
2. Obtener la derivada de la función.
3. Igualar la derivada a 0.
4. Crear intervalos utilizando los valores obtenidos y analizar el signo de la derivada en cada intervalo.

Máximos (-) y Mínimos (+)

1. Verificar si la función es continua.
2. Obtener la primera derivada e igualarla a 0.
3. Crear intervalos utilizando los valores obtenidos y seleccionar un valor dentro de cada intervalo. Sustituir este valor en la derivada para determinar si es un máximo o un mínimo.

Concavidad y Convexidad (∩)

1. Obtener la primera derivada.
2. Obtener la segunda derivada e igualarla a 0.
3. Crear intervalos utilizando los valores obtenidos y seleccionar un valor dentro de cada intervalo.
4. Sustituir los valores seleccionados en la segunda derivada. Si el resultado es +, la función es cóncava; si es -, la función es convexa.

Punto de Inflexión

1. Obtener la primera derivada de la función.
2. Obtener la segunda derivada e igualarla a 0 y resolverla.
3. Obtener la tercera derivada.
4. Sustituir el valor obtenido en el paso 2 en la tercera derivada. Si el resultado es diferente de 0, hay un punto de inflexión.
5. El punto de inflexión es (x, f(x)), donde se sustituye x en la función original.

Regla de L'Hôpital

1. Resolver el límite de la función.
2. Si el límite es una indeterminación, aplicar la regla de L'Hôpital.
3. Calcular el límite de la derivada (la derivada se calcula para cada término individualmente).

Representación Gráfica

1. Dominio
2. Simetría
3. Puntos de corte (la solución se expresa en intervalos, estableciendo y=0)
4. Asíntotas
5. Crecimiento y decrecimiento
6. Curvatura (cóncava y convexa)
7. Ramas parabólicas (calcular el límite de +∞ y -∞ para determinar el comportamiento final).