Teorema de Bayes: Cálculo y Aplicación de Probabilidades Previas y Posteriores

Fundamentos de Probabilidad y Estadística

Cálculo de Probabilidades mediante el Teorema de Bayes

La siguiente tabla ilustra la aplicación de los componentes del Teorema de Bayes para calcular las probabilidades a posteriori, basándose en eventos previos ($P_i$) y un resultado observado ($D$).

Tabla de Distribución de Probabilidades Bayesianas

Evento $P_i$	Probabilidad Previa $P(P_i)$	Probabilidad Condicional $P(D|P_i)$	Probabilidad Conjunta $P(D|P_i) \cdot P(P_i)$	Probabilidad a posteriori $P(P_i|D)$
P1	0.723	0.824	0.596	0.837
P2	0.188	0.536	0.101	0.142
P3	0.089	0.174	0.015	0.021
Total	1.000		0.712	1.000

Tipos de Probabilidad y sus Fórmulas

Concepto y Notación	Definición
Probabilidad Previa: $P(A)$	Es la probabilidad de un evento posible antes de incorporar cualquier otra información o evidencia.
Probabilidad Condicional: $P(B|A)$	Es la probabilidad de que el evento $B$ ocurra, dado que ya ha ocurrido el suceso $A_i$.
Probabilidad Conjunta: $P(B \cap A) = P(B|A) \cdot P(A)$	Equivalente a la probabilidad de la intersección de $A_i$ y $B$, determinada por la regla general de la multiplicación.
Probabilidad a posteriori: $P(A_i|B)$	Combina la información provista en la distribución previa con la que se ofrece a través de las probabilidades condicionales para obtener una probabilidad condicional final, una vez que se ha observado el evento $B$.

Glosario de Conceptos Estadísticos Esenciales

Ensayo

Cada realización individual del experimento aleatorio.

Espacio Muestral

Es el conjunto de todos los valores o resultados posibles que pueden surgir de la realización de un experimento aleatorio.

Evento

Es un subconjunto del espacio muestral, por lo que está formado por uno o más resultados del experimento aleatorio.

Eventos Independientes

Se dice que se tiene una colección de eventos independientes si la probabilidad conjunta de todos ellos es igual al producto de sus probabilidades marginales. 227

Eventos Mutuamente Excluyentes

Se dice que una colección de eventos es mutuamente excluyente si el hecho de que uno de ellos ocurra impide o excluye que cualquier otro evento ocurra simultáneamente.

Experimento Aleatorio

Es una situación en la que no puede anticiparse con certeza el resultado final.

Probabilidad

Es un número que expresa las oportunidades o la posibilidad de que una situación o evento ocurra o no.

Probabilidad Condicional

Expresa el valor relativo que tiene la probabilidad de un subconjunto del espacio muestral ante la probabilidad de otro evento, denominado condición, y que se supone ya ha ocurrido.

Preguntas Frecuentes sobre Probabilidad

1. ¿A qué se refiere cuando se habla de una probabilidad marginal?

   Es la probabilidad ordinaria o simple de un evento considerado individualmente.

2. ¿Cuál es el objetivo principal del Teorema de Bayes?

   El objetivo es determinar la relación entre las probabilidades condicionadas de dos sucesos, permitiendo actualizar la probabilidad de una hipótesis a medida que se obtiene nueva evidencia.