Teorema de Bolzano y funciones matemáticas

Continuidad

Límite por la derecha y límite por la izquierda, si son iguales hay continuidad sino no.

Teorema de Bolzano

Te da una función y tienes que decir dónde es continua y que es continua en el punto que él te ha dado. Sustituyes el punto que tienes en la función del ejercicio, si te dan valores de distinto signo, existe un punto C en el intervalo abierto del punto que tienes en el que se anula la función por lo que sí que se cumple.

Funciones

1º sacamos el dominio. 2º los puntos de corte, en el eje X (y = 0) y sustituyes en la función 0 donde haya y, y en el eje OY (x = 0) y sustituyes en la función 0 donde haya X y esto te da un punto. 3º hacer las asíntotas (verticales), hay que hacer el límite de lo que haya dado el dominio, y si da infinito tienes que hacer el límite por la derecha y por la izquierda de ese número, para saber hacia dónde van las asíntotas. (Horizontal), Hay que hacer el límite de infinito de la función y si no te da un número tienes que hacer la oblicua. (Oblicua) Y=mx+n; m=límite de infinito de la función entre x y m tiene que dar distinto de 0 y de infinito; n= límite de infinito (función - m por x),y hay que sacar valores de x ý de y. 4º Intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos: Hay que hacer la primera derivada de la función, igualarla a 0 con el punto que te haya dado, y después hacer una línea en el que estén las asíntotas verticales, el punto y valores menores y mayores de cada punto para saber dónde decrece y crece. Para saber esto sustituye los puntos en la derivada y pone dónde es creciente y decreciente. En el punto que haya un máximo o un mínimo sustituyes en la función ese número en X, cómo X ya la ha sustituido el punto que te de es Y. 5º puntos de inflexión: Haces la segunda derivada y la igualas a cero, la resuelves, y si da razonable hay, sino no. Dibujas una recta y pones las asíntotas que haya con puntos mayores y menores, pones el punto que te ha dado en la primera derivada y sustituyes con todos esos puntos en la segunda derivada, si es + es cóncava y si es - convexa.

Teorema de Rolle

Te da una función y un punto, la función tiene que ser continua en ese punto, derivable, y f(a)=f(b). Cogemos los puntos y sustituimos en la función (cada punto por separado) porque una es f(a) y la otra f(b). Luego hacemos la derivada de la función de la función que te da y se iguala a 0. Como f’(c)=0 sustituyes en la derivada las X por C y ahí ya resuelves la ecuación.

Teorema de Rolle sistema

Tienes que sacar la continuidad con los limites por la derecha y por la izquierda. Después si es derivable haciendo la primera derivada y una vez hecha tienes que hacer los limites de la derivada por la derecha y por la izquierda e igualar los resultados que te den y ahí se supone que sacamos a. Después sustituyes el punto a en la primera función que es la de arriba y luego el punto b en la segunda que es el de abajo. Si te dan el mismo resultado es porque f(a) es igual f(b) por lo que existe un punto C perteneciente a el punto a y b tal que la derivada de C es igual a 0 y tienes que sustituir en la derivada de la primera función las x por c dándote el valor así de C.

Monotonía

Haces la primera derivada y la igualas a 0, la resuelves y con lo que te de haces la línea y coges valores mayores y menores de los puntos que te ha dado y ves si es creciente o decreciente.