Teorema de Carnot: Demostración y Cálculo del Rendimiento Térmico

Teorema de Carnot: Fundamentos y Demostración

El Teorema de Carnot establece que ninguna máquina térmica que opere entre dos temperaturas dadas puede tener un rendimiento térmico superior al de una máquina de Carnot que funcione entre esas mismas temperaturas. Este rendimiento es independiente de la sustancia de trabajo que recorre el ciclo y depende únicamente de las temperaturas de las dos fuentes (caliente y fría).

Demostración del Teorema

Para demostrar la primera parte del teorema, consideremos dos máquinas térmicas que realizan el mismo trabajo (W) entre las mismas fuentes:

• Máquina 1 (Carnot, reversible): Toma una cantidad de calor Q1 de la fuente caliente y deposita Q2 en la fuente fría, realizando un trabajo W.
• Máquina 2 (Ciclo cualquiera): Realiza el mismo trabajo W.

Supongamos, por contradicción, que el rendimiento de la máquina 2 (η2) es mayor que el de la máquina 1 (η1, máquina de Carnot). Esto implica que Q1 > Q1' y, por lo tanto, Q2 > Q2'. Es decir, la máquina 1 tomaría más calor de la fuente caliente y depositaría más calor en la fuente fría para realizar el mismo trabajo que la máquina 2.

Veamos por qué esto es imposible. Dado que la máquina de Carnot es reversible, puede operar en sentido inverso. En este modo inverso, recibe el trabajo W y transfiere calor de la fuente fría a la caliente.

Si acoplamos ambas máquinas, la máquina 2 entrega el trabajo W que necesita la máquina 1 (de Carnot) para operar en su ciclo inverso. Por lo tanto, no hay absorción ni realización neta de trabajo considerando ambas máquinas como un único sistema. Sin embargo, las cantidades de calor no se equilibran. Denotamos con 'q' la diferencia entre las cantidades de calor que entran o salen de cada fuente.

Debido a nuestra suposición inicial (Q1 > Q1' y Q2 > Q2'), una cantidad de calor 'q' pasaría espontáneamente de la fuente fría a la caliente. Esto contradice el enunciado de Clausius del segundo principio de la termodinámica, que establece que el calor no puede fluir espontáneamente de un cuerpo más frío a uno más caliente.

Por lo tanto, nuestra suposición inicial es falsa. El rendimiento de la máquina de Carnot no puede ser superado. En el caso límite, si q = 0, la máquina 2 tendría el mismo rendimiento que la máquina 1 (Carnot).

Cálculo del Rendimiento de una Máquina de Carnot

Para calcular el rendimiento, consideremos un gas perfecto que recorre el ciclo de Carnot. Aplicando la primera fórmula de rendimiento y, de acuerdo con el primer principio de la termodinámica:

En el ciclo de Carnot, los intercambios de calor Q1 y Q2 ocurren a lo largo de las isotermas. Sus valores son:

(Aquí irían las ecuaciones para Q1 y Q2, que involucran las temperaturas y volúmenes en las isotermas)

Dividiendo miembro a miembro y simplificando, obtenemos la relación entre las temperaturas y los volúmenes:

(Aquí iría la ecuación simplificada)

Finalmente, desarrollando esta relación, llegamos a la expresión del rendimiento térmico (η) de la máquina de Carnot:

η = 1 - (T_fría / T_caliente)

Este es el máximo rendimiento que se puede obtener cuando un ciclo se realiza entre las temperaturas T_caliente y T_fría.