Teorema de Rolle y Otros Conceptos Fundamentales del Cálculo

Teorema de Rolle

Sea f(x) una función que satisface las siguientes hipótesis:

1. f(x) es continua en [a,b]
2. f(x) es derivable en (a,b)
3. f(a)=f(b)

Entonces existe un número cÎ(a,b) tal que f´(c)=0

Demostración:

Hay tres casos:

1er caso:

f(x) = cte ® f ´(x)=0 para todo xÎ(a,b). Cualquier c Î(a,b) lo cumple.

2do caso:

Existe un x tal que f(x)>f(a). Dado que por hipótesis f(x) es continua en [a,b], f(x) tiene un valor máximo en [a,b] (teorema de Weierstrass). Dado que f(a)=f(b) el máximo debe alcanzarse en algún c Î(a,b), es decir que también en c se alcanza un máximo local (pues está en el interior de [a,b]). f(x) es derivable en (a,b) (hipótesis 2) entonces podemos aplicar el teorema de Fermat, es decir, f´(c) = 0.

3er caso:

Existe un x tal que f(x)< f(a). Dado que por hipótesis f(x) es continua en [a,b], f(x) tiene un valor mínimo en [a,b] (teorema de Weierstrass). Dado que f(a)=f(b) el mínimo debe alcanzarse en algún c Î(a,b), es decir que también en c se alcanza un mínimo local (pues está en el interior de [a,b]). f(x) es derivable en (a,b) (hipótesis 2) entonces podemos aplicar el teorema de Fermat, es decir, f´(c) = 0.

Integrales Impropias

Definición:

Decimos que una integral es impropia si:

1. La función es continua o bien discontinua con saltos finitos y el intervalo de integración es una semirrecta o toda la recta real (se las denomina de Primera Especie)
2. La función en el intervalo de integración [a,b] presenta una asíntota vertical (función no acotada) (se las denomina de Segunda Especie)

Elasticidad de una Función

Definición:

Consideremos una función f: A ® R derivable y no nula en un punto interior x₀Î A. Se define la elasticidad de f en el punto x₀ como la expresión         e(x₀)= x₀/f(x₀) * f´(x₀)

Ventaja frente a la derivada porque es adimensional, es decir, no depende de las unidades como la derivada.

Puntos Críticos

Definición:

Un punto crítico de una función f(x) es un número c perteneciente al dominio de f(x) tal que f´(c) = 0  ó f´(c) no exista.

Recordemos el teorema de Fermat: Si f(x) tiene un máximo o mínimo local en x=c y si f´(c) existe (es decir f(x) es derivable en x=c) entonces f´(c)=0.

Si f(x) tiene un mínimo o máximo local en x=c entonces x=c es un punto crítico.

De la misma manera, si  f(x) tiene un mínimo o máximo local en x=c podría ser que f´(x) no existiera (pensemos en funciones continuas que tiene picos). Es decir que en general podemos decir que si f(x) tiene un máximo o un mínimo local en x=c entonces x=c es un punto crítico.

Puntos de Inflexión

Definición:

Un punto (c, f(c)) de una curva es un punto de inflexión, si f(x) es continua en él y existe un intervalo abierto (a,b) que contiene al punto c, tal que f(x) presenta diferente concavidad en los subintervalos: (a, c) y (c, b). Estos puntos son máximos o mínimos de f´(x).