Teoremas Clave del Cálculo Diferencial e Integral: Aplicaciones y Demostraciones

Teoremas Fundamentales del Cálculo

Teorema de Bolzano

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f(a) es distinto del signo de f(b), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

El teorema establece que si los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) de una función continua están en diferentes lados del eje OX, entonces la gráfica de la función corta al eje OX en al menos un punto. Si consideramos la ecuación f(x) = 0, con f en las hipótesis de Bolzano, el teorema garantiza la existencia de al menos una solución (raíz) de la ecuación en el intervalo (a, b).

El teorema de Bolzano garantiza que al menos existe un punto que cumple que f(c) = 0, pero no dice que ese punto sea único; puede darse el caso en el que existan varios puntos de corte de la función con el eje OX. Si no se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano, entonces no podemos afirmar nada, es decir, no podemos garantizar que no exista ni que exista un punto c con f(c) = 0.

Teorema de los Valores Intermedios

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea k un valor comprendido entre f(a) y f(b), entonces existe un c ∈ (a, b) tal que f(c) = k.

Teorema de Weierstrass

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un máximo y un mínimo absoluto en ese intervalo.

Teorema de Rolle

Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b) y además f(a) = f(b), entonces existe un punto c del intervalo (a, b) tal que f'(c) = 0.

Interpretación Geométrica

Que f'(c) = 0 quiere decir que la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto vale cero. Por tanto, si se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle, entonces podemos asegurar que al menos existe un punto entre a y b donde la recta tangente a la curva en ese punto es horizontal.

Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial

Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b), entonces existe un punto c del intervalo (a, b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Interpretación Geométrica

Por un lado, la recta que une los puntos A(a, f(a)) y B(b, f(b)) tiene por pendiente (f(b) - f(a)) / (b - a). Por otro lado, f'(c) es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (c, f(c)). Por lo tanto, si se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio, podemos garantizar que al menos existe un punto donde la recta tangente es paralela a la recta que une los puntos A(a, f(a)) y B(b, f(b)).

Ecuación de una recta que pasa por (a,b)

y - y₀ = m(x - x₀)