Teoremas Clave sobre Convergencia y Divergencia de Series Numéricas

Teorema 19 (Cauchy para series)

Una serie ∑an es convergente si, y sólo si,

∀ε > 0, ∃ N ∈ N : si m > n ≥ N entonces

|an+1 + an+2 + · · · + am| < ε.

Demostración: ∑an es convergente si la sucesión {Sn} es convergente, y por el Teorema 7, {Sn} es convergente si, y sólo si, es Sucesión de Cauchy:

∀ε > 0, ∃ N ∈ N : si m > n ≥ N entonces |Sm − Sn| < ε,

donde Sm − Sn = (a1 + a2 + · · · + am) − (a1 + a2 + · · · + an) = a1 + a2 + · · · + an + an+1 + · · · + am − a1 − a2 − · · · − an = an+1 + an+2 + · · · + am.

Teorema 22 (Criterio de Comparación con ≤)

Sean 0 < an ≤ bn para todo n.

Si ∑bn es convergente, entonces ∑an también es convergente. Equivalentemente, si ∑an es divergente, entonces ∑bn también es divergente.

Demostración: Como an ≤ bn para todo n tenemos que

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + · · · + an ≤ b1 + b2 + b3 + b4 + · · · + bn = Tn,

luego si {Tn} está acotada superiormente también lo está {Sn} y si {Sn} no está acotada superiormente tampoco lo está {Tn}.

Teorema 30 (de Leibniz)

Sea una serie alternada, a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − a6 + − · · · , con cada an > 0. Si se cumple que (i) limn→∞ an = 0 y (ii) {an} es decreciente, entonces la serie alternada es convergente.

Demostración: La sucesión {Sn} de las sumas parciales de una serie alternada es oscilante. Si, además, {an} es decreciente, entonces los Sn cumplen es decir, S2 ≤ S4 ≤ S6 ≤ S8 ≤ · · · ≤ S7 ≤ S5 ≤ S3 ≤ S1. Así, la sucesión {S2k} es creciente y acotada superiormente, luego es convergente (ver Nota 12), digamos a α ∈ R. Del mismo modo la sucesión {S2k+1} es decreciente y acotada inferiormente, luego también es convergente, digamos a β ∈ R. Además, S2k+1 − S2k = a2k+1 para todo k ∈ N, luego tomando límites y aplicando (ii) tenemos que β − α = 0 ⇒ α = β. Como las sucesiones {S2k} y {S2k+1} son convergentes al mismo número, la sucesión global, {Sn} es también convergente y, por lo tanto, la serie es convergente.

Corolario 2 (Aplicación de Rolle)

Sea f : D ⊆ R → R una función diferenciable en D intervalo abierto de R. Si f' no se anula en D entonces f tiene, a lo sumo, un cero en D.

Demostración: Por reducción al absurdo, supongamos que f tiene dos ceros en D: f(a) = f(b) = 0. Entonces, por el Teorema de Rolle (f es diferenciable en (a, b) ⊂ D y continua en [a, b] ⊂ D) existe un punto c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0, lo que es una contradicción (pues f' no se anula en D).