Teoremas esenciales y clasificación de los triángulos: Tales, Pitágoras, altura y cateto

1.- Teorema de Tales por triángulos

El Teorema de Tales es aplicable a los polígonos; sin embargo, en este tema lo usamos solo para triángulos. El Teorema de Tales, aplicado a los triángulos, dice que toda recta paralela a un lado de un triángulo divide al triángulo en partes proporcionales. Es decir, obtenemos tantos triángulos semejantes como rectas paralelas a un lado del triángulo tracemos.

El Teorema de Tales solo es válido para triángulos que sean semejantes. Supongamos un triángulo ABC; si trazamos un segmento MN paralelo a un lado, obtendremos un triángulo MN C semejante a ABC. Si trazamos un segmento PQ paralelo, obtendremos un triángulo PQ C semejante a ABC.

Por lo tanto, dos triángulos serán semejantes si se cumple alguna de estas premisas:

• Los triángulos tienen los lados proporcionales.
• Los triángulos tienen dos ángulos iguales (por lo tanto, los tres ángulos serán iguales).
• Los triángulos tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.

El Teorema de Tales se expresa matemáticamente así:

a / a' = b / b' = c / c'

Los ángulos A, B, C son iguales, respectivamente, a los ángulos A', B', C' en los triángulos semejantes.

2.- Teorema de Pitágoras

Es un teorema válido únicamente para triángulos rectángulos, que son aquellos formados por dos catetos (los lados que forman el ángulo recto, de 90°) y la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto, y siempre el lado más largo del triángulo).

El Teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Su enunciado matemático es el siguiente:

a² + b² = c²

3.- Teorema de la altura y Teorema del cateto

Son dos teoremas válidos únicamente para triángulos rectángulos.

Dado un triángulo rectángulo (como en el dibujo que hay más abajo), si trazamos la altura desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa, se forman dos segmentos en la hipotenusa que llamaremos m y n, y la hipotenusa completa la llamaremos c. La altura la llamaremos h, y los catetos a y b.

Las expresiones matemáticas de estos dos teoremas son las siguientes:

• Teorema de la altura: h² = m · n
• Teorema del cateto: a² = c · m y b² = c · n

HACER LAS DEMOSTRACIONES DE LOS TEOREMAS

4.- Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar según sus lados y según sus ángulos:

* Según los lados

• Equiláteros: tienen los tres lados iguales.
• Isósceles: tienen dos lados iguales.
• Escalenos: no tienen ningún lado igual.

* Según los ángulos

• Acutángulos: tienen todos los ángulos menores que 90°.
• Rectángulos: tienen un ángulo de 90°.
• Obtusángulos: tienen un ángulo mayor de 90°.