Teoremas Fundamentales del Cálculo: Valor Medio, Rolle, Bolzano y Weierstrass

Teoremas Fundamentales del Cálculo

Teorema del Valor Medio y Derivadas

1. A. Existencia de funciones con la misma derivada: Sí, es posible que existan dos funciones distintas con la misma función derivada. Un ejemplo es la función f(x) = x² y la función g(x) = x² + 1. Ambas tienen la misma función derivada f'(x) = g'(x) = 2x.

   B. Derivabilidad de la función valor absoluto: La función f(x) = |x - 2| tiene dos ramas: una para x < 2 y otra para x > 2. En la rama izquierda (x < 2), f(x) = 2 - x y en la rama derecha (x > 2), f(x) = x - 2. La función no es diferenciable en x = 2, ya que las dos ramas tienen pendientes diferentes en ese punto. Por lo tanto, no se puede calcular la derivada de f(x) en x = 2.

2. Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral: Si una función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces existe un número c en el intervalo (a,b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a). En otras palabras, existe al menos un punto c en el intervalo (a,b) donde la pendiente de la recta tangente a la curva de f(x) es igual a la pendiente de la recta que une los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) en el plano cartesiano.

Teorema de Rolle

El Teorema de Rolle establece que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b), y si f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c en el intervalo (a,b) donde la derivada de la función es igual a cero, es decir, f'(c) = 0.

En otras palabras, si una función continua tiene el mismo valor en los extremos de un intervalo cerrado, entonces existe al menos un punto dentro del intervalo donde la función alcanza un punto crítico, es decir, un punto donde la pendiente de la función es igual a cero.

Teorema de Bolzano

El Teorema de Bolzano, también conocido como Teorema del Valor Intermedio, establece que si una función continua f(x) toma valores de signo opuesto en los extremos de un intervalo cerrado [a,b], entonces existe al menos un punto c en el intervalo (a,b) donde la función se anula, es decir, donde f(c) = 0.

En otras palabras, si una función continua f(x) cambia de signo en un intervalo cerrado, entonces tiene al menos una raíz en ese intervalo. Esto significa que la función cruza el eje x en algún punto dentro del intervalo.

Otros Teoremas Importantes

Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral

[1] Sea f una función continua en [a,b] ⇒ ∃ c ∈ [a,b] tal que: ∫_a^b f(x) dx = f(c).(b-a)

Teorema Fundamental del Cálculo

[2] Si f es una función continua en [a,b] ⇒ La función F(x) = ∫_a^x f(x) dx , x ∈ [a,b] es derivable, y se verifica que F´(x) = f(x)

Regla de Barrow

[3] Si f(x) es continua en [a,b] y F(x) es una primitiva suya, entonces: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) donde F ´(x) = f(x)

Teorema de Weierstrass

Si f es continua en [a,b], entonces tiene un máximo y un mínimo absolutos en ese intervalo. Es decir, existen sendos números c y d, del intervalo [a,b] para los cuales se cumple que: cualquiera que sea x ∈ [a,b] es f(c) ≤ f(x) ≤ f(d).