Teoremas de Norton y Frank: Fundamentos y Aplicaciones en Redes Eléctricas

Teorema de Norton

Objeto: Cálculo del circuito equivalente de una red entre dos de sus terminales en forma de fuente real de corriente.

Es el dual del Teorema de Frank.

Aplicación: Redes activas lineales.

Definición y Demostración

Toda red activa entre dos de sus terminales es equivalente a su circuito pasivo en derivación con una fuente ideal de corriente de valor igual a la corriente de cortocircuito de la red activa original.

Gráficamente se expresa:

CA(Ye,kq, icc cerrado) ==> CP(fuente corriente ideal) ==> fuente real corriente (jNo,YTh)

Nomenclatura

• icc: Corriente de cortocircuito
• jNo: icc = Fuente de corriente
• YNo: Ye,kq = Admitancia de entrada del circuito pasivo

Demostración

Eligiendo como carga una fuente ideal de tensión, se determinan ambas corrientes, las cuales deben ser iguales. Aplicamos el principio de superposición en ambas redes:

• Para la red original:

  CA(ik’, con 'e' cerrado) ==> CA(cortocircuito icc) + CP(ik con 'e' cerrado)

  Resulta: ik’ = icc + ik

• Para la red equivalente:

  CP(con fuente ideal de corriente jNo en paralelo con fuente ideal de tensión 'e', ik’’) <==> CP(fuente ideal de corriente jNo en paralelo con cortocircuito) + CP(fuente ideal de tensión 'e', ik)

  Resulta: ik’’ = jNo + ik

Para que ambas redes sean equivalentes, ik’ = ik’’, por lo tanto, jNo = icc.

Teorema de Frank

Objeto: Determinar los incrementos de intensidad por las diferentes ramas del circuito, solo para redes activas lineales.

Definición y Demostración

Sea la red de la figura con corrientes ik,…iq conocidas:

• Figura a: CA (por la izquierda entra ik cerrado, y por la derecha sale iq cerrado)
• Figura b: CA (por la izquierda impedancia ∆Z con ik+∆ik entrando y por la derecha iq+∆iq saliendo)

Por lo tanto, tendremos que calcular las nuevas corrientes de la Figura b.

Enunciado del Teorema

Los incrementos de corriente de la red activa de la Figura b se determinan sobre el circuito pasivo de la misma red b, que además tendrá una fuente ideal de tensión de valor: ec = ∆Z * ik.

Es decir, Figura c: CP (por la izquierda ∆Z + fuente ideal de tensión ec, ∆ik entrando al CP, por la derecha ∆iq saliendo).

Demostración

Primer paso: Partiendo de la Figura b, aplicando la regla de sustitución, se sustituye ∆Z por una fuente ideal de tensión de valor es = ∆Z * (ik + ∆ik).

Segundo paso: Aplicar superposición en la Figura b:

CA (por la derecha fuente dependiente 'es' con ik+∆ik entrando, por la izquierda iq+∆iq) <==> CA (por la izquierda ik cerrado, por la derecha iq saliendo) + CP (izquierda fuente dependiente ∆ik, por la izquierda ∆iq)

Tercer paso:

es = ∆Z(ik + ∆ik) = ∆Zik + ∆Z∆ik = ec + ∆Z∆ik.