Teoremas de Rolle, Lagrange, Infinitésimos y Criterios de Convergencia

Teorema de Rolle

Si la función y = f(x) es continua en [a; b], derivable en (a; b), y f(a) = f(b), entonces existe al menos un x₀ en (a; b) tal que: f'(x₀) = 0.

Demostración

La continuidad de y = f(x) en el intervalo cerrado [a; b] implica la existencia en este intervalo de un máximo absoluto M y de un mínimo absoluto m, según el teorema de Weierstrass. Pueden ocurrir dos casos excluyentes:

• Caso 1: El máximo M está en (a; b); el mínimo m está en (a; b), o ambos están en (a; b).
• Caso 2: M y m están en los extremos del intervalo a y b, en cualquiera de las dos posiciones posibles.

Supongamos el caso 1, y que M es el valor de la función en un punto del intervalo abierto (a; b). Por ser absoluto y estar en el intervalo abierto es también relativo; al ser derivable la función, la derivada debe anularse: si es f(x₀) = M, es f'(x₀) = 0. Igual ocurrirá en el caso en que m se alcanza en un punto del intervalo abierto; si ambos están en el abierto, obtenemos dos puntos donde la derivada se anula.

Supongamos ahora el caso 2, y que sea f(a) = M y f(b) = m. Por ser f(a) = f(b) es: M = m. Como todos los valores que toma la función en el intervalo cerrado [a; b] están entre m y M, y estos son iguales, la función es constante en todo el intervalo: f(x) = c (constante).

Si la función es constante en el intervalo cerrado, su derivada es nula en todos los puntos del abierto, y ahora hay infinitos puntos donde la derivada se anula: f'(x) = 0; para todo x de (a; b). El punto donde se anula la derivada tiene la tangente horizontal: En (a; b) existe un punto con tangente horizontal, paralela a la secante que une los puntos (a; f(a)) y (b; f(b)).

Teorema de Lagrange

Sea g la función y=x cuya gráfica es la bisectriz del cuadrante 1 y 3. Su derivada y'=1, por lo tanto, no se anula en x. Al ser g(a)=a y g(b)=b, tenemos:

En consecuencia, f(b)-f(a)=f'(X₀)(b-a) con a<x₀<b. Int.G= (1ª función de arriba)=pendiente de la secante que une los puntos [a,f(a)] y [b,f(b)]. Esta pendiente es igual a la pendiente tangente a la curva f(x) en el punto x=x₀. Por tanto, ambas rectas son paralelas.

Infinitésimos

• Ln(a₀+ a₁n+a₂n²+ ... + a_kn^k) ~ Ln n^k
• sen An ~ An
• Tg An ~ An
• 1-cosAn ~ An² / 2
• Ln An ~ An-1
• A^1/n ~ 1/n Ln A
• e^x -1 ~ x
• (1+x)^m -1 ~ mx
• sen x ~ x
• 1-cosx ~ x²/2
• x - sen x ~ x³/6
• log x ~ x - 1
• x^m - 1 ~ m(x-1)

Criterios de Convergencia

• Criterio de Stolz: An/Bn ---> (An - An-1)/ (Bn - Bn-1)

• Criterio de la raíz:

  ---> (An-1) / An

• 1?: ---> Bn · (An-1)
• 0^o: ---> Bn · LnAn
• Criterio de Pringsheim: n? · An
• Criterio de Raabe: n [ 1 - (An+1)/An] ; x>1 converge