Topografía: Vertical de Lugar, Cálculo de Superficies y Coordenadas por Radiación

Conceptos fundamentales de Topografía

1. ¿Qué es la vertical de lugar? ¿Qué relación tiene con la Topografía?

Es la línea recta perpendicular al geoide en un punto determinado, marcada por la dirección de la plomada en reposo bajo la acción de la fuerza de la gravedad. En Topografía, sirve para estacionar y nivelar el instrumento, medir los ángulos cenitales (V) y establecer la dirección de referencia fundamental para el cálculo de altitudes y desniveles.

Tipos de norte

• Norte Geográfico o Verdadero (NG): Dirección que apunta directamente al Polo Norte terrestre (eje de rotación del planeta).
• Norte Magnético (NM / NH): Dirección que indica la aguja imantada de la brújula en un punto dado. Su ángulo respecto al Norte Geográfico es la declinación magnética (δ).
• Norte de Cuadrícula (NC): Dirección del eje vertical Y en un sistema de proyección plano (como UTM). Su ángulo respecto al Norte Geográfico se denomina convergencia de meridianos.

¿Qué es la cota ortométrica?

Es la distancia vertical medida a lo largo de la línea de la vertical desde la superficie de referencia del geoide (nivel medio del mar) hasta el punto considerado en la superficie terrestre.

Tres superficies geodésicas y el punto Datum

• Superficie Topográfica: Superficie física real e irregular de la corteza terrestre.
• Geoide: Superficie equipotencial del campo gravitatorio terrestre que coincide aproximadamente con el nivel medio del mar en reposo.
• Elipsoide: Superficie matemática regular engendrada por la revolución de una elipse, utilizada para realizar cálculos geométricos.
• Datum: Punto fundamental donde el elipsoide de referencia es tangente o coincide con el geoide, definiendo el origen del sistema de coordenadas.

Cartografía y proyecciones

¿Qué quiere decir que la proyección utilizada es automecoica?

Quiere decir que es una proyección equidistante. Conserva las distancias reales sin deformación lineal a lo largo de determinadas líneas o redes principales del mapa (como los meridianos o paralelos de referencia).

¿Qué entiendes como mínima dimensión representable en un mapa?

La MDRM, o mínima dimensión representable en un mapa, es la dimensión física más pequeña en el terreno que puede dibujarse y apreciarse visualmente en un mapa o plano, estando condicionada por el límite de percepción del ojo humano (establecido convencionalmente en 0,2 mm = 0,0002 m).

Fórmula: MDRM = 0,0002 · M

Plataformas cartográficas y aplicaciones

Instituto Geográfico Nacional (IGN), Sede Electrónica del Catastro e Instituto Cartográfico Valenciano (ICV).

Instrumentos topográficos

¿Cómo se cala el nivel esférico?

Se coloca el instrumento sobre la meseta del trípode y se cala de manera aproximada subiendo o bajando alternativamente las patas extensibles del trípode hasta situar la burbuja en el centro del círculo de control.

¿Qué es el eclímetro?

Es el limbo o círculo graduado vertical del instrumento topográfico (teodolito o estación total). Gira solidario al anteojo sobre el eje secundario u horizontal (K-K') y sirve para medir ángulos verticales o cenitales, necesarios para calcular distancias reducidas y desniveles.

Tres ejes virtuales

• Eje Principal o de rotación de la alidada (S-S'): Eje vertical alrededor del cual gira el cuerpo del instrumento en el plano horizontal.
• Eje Secundario, Horizontal o de Muñones (K-K'): Eje perpendicular al eje principal alrededor del cual gira o bascula el anteojo en el plano vertical.
• Eje de Colimación o Puntería (Z-Z'): Línea virtual de visión que une el centro óptico del objetivo con el punto de intersección del retículo.

¿Qué es un retículo?

Es un disco de cristal transparente grabado con una cruz de hilos cruzados (hilo vertical, hilo horizontal principal e hilos estadimétricos superior e inferior). Se encuentra situado en el plano focal del anteojo del instrumento topográfico (teodolito o estación total).

¿Qué es un odómetro y cómo se llama la distancia por donde se mide?

El odómetro es un aparato mecánico provisto de una rueda calibrada que, al rodar sobre el terreno, mide la longitud recorrida. La distancia medida siguiendo las irregularidades reales del terreno se denomina distancia natural.

Lecturas, acimutes y orientación

Diferencias entre lecturas y acimutes en un aparato de topografía

• Lectura horizontal (LH): Ángulo horizontal leído directamente en el limbo graduado del instrumento cuando este no está orientado respecto al Norte.
• Acimut (θ): Ángulo horizontal medido con respecto al Norte Geográfico. La relación entre ambos viene dada por θ = δ + LH, donde δ es la desorientación de la estación.

Diferencia entre Rumbo y Acimut

• Acimut (θ): Ángulo horizontal medido en sentido horario desde el Norte de referencia. Su valor varía entre 0g y 400g (o de 0° a 360°).
• Rumbo (R): Ángulo agudo medido desde el meridiano de referencia (Norte o Sur) hacia el Este u Oeste. Su valor oscila entre 0g y 100g (0° a 90°) e indica expresamente el cuadrante (ej. N 30° E, S 40° O).

Estrella más próxima al eje del mundo en el hemisferio Norte

La Estrella Polar (Polaris).

Geodesia y tipos de líneas

La Geodesia es la ciencia que estudia la forma y dimensiones de la Tierra. Esto incluye la determinación del campo gravitatorio externo de la Tierra y la superficie del fondo oceánico. Dentro de esta definición, se incluye también la orientación y posición de la Tierra en el espacio.

• Ortodrómica: Es el camino más corto entre dos puntos de la superficie terrestre; es el arco del círculo máximo que los une, menor de 180º.
• Loxodrómica: Une dos puntos cualesquiera de la superficie terrestre cortando a todos los meridianos con el mismo ángulo. Es fácil de seguir manteniendo el mismo rumbo marcado por la brújula, pero es el camino más largo.

Ejercicios resueltos

Distancia y acimut entre dos puntos por coordenadas

Dados A [X=30, Y=20] y B [X=-40, Y=50] sobre el mismo origen:

1. Coordenadas parciales

ΔX = XB - XA = -40 - 30 = -70 m
ΔY = YB - YA = 50 - 20 = +30 m

2. Distancia reducida (Dr)

Dr = √((ΔX)² + (ΔY)²) = √((-70)² + (30)²) = √(4900 + 900) = √5800 = 76,16 m

3. Ángulo reducido (θs)

θs = arctan|ΔX / ΔY| = arctan(70 / 30) = 74,2238g

4. Acimut (θAB)

Al ser ΔX negativa y ΔY positiva (cuadrante NW / segundo cuadrante):
θAB = 400g - 74,2238g = 325,78g

Cálculo de superficie de una parcela por el método de radiación y de Sarrus

Calcular la superficie y dibujarla de la siguiente parcela por el método de radiación y de Sarrus. Calcular las coordenadas absolutas de A, B, C. La solución se expresará en m² y en unidades agrarias (Ha, a, ca). Las Dr están expresadas en metros. El método utilizado es el de radiación con estación total y no se ha aplicado la regla Bessel.

Datos: Coordenadas absolutas del punto de radiación E [X = 300; Y = 400] (redondear al cm). Sistema desorientado, conocemos el acimut de la referencia de salida θE Ref = 23,1222 gones. El estadillo de campo es el siguiente:

Desarrollo de la solución

1. Desorientación de la estación (δ):
δ = θE Ref - LHRef = 23,1222g - 305,2335g = -282,1113g (≡ +117,8887g)

2. Acimutes de los puntos visados (θE i = δ + LHi):

• θE A = -282,1113g + 244,9570g + 400g = 362,8457g
• θE B = -282,1113g + 369,1530g = 87,0417g
• θE C = -282,1113g + 118,2240g + 400g = 236,1127g

3. Coordenadas parciales y absolutas (E = [300, 400]):

• Vértice A: ΔXA = 15,79 · sin(362,8457g) = -8,701 m; ΔYA = 15,79 · cos(362,8457g) = +13,176 m; XA = 291,30 m | YA = 413,18 m
• Vértice B: ΔXB = 14,56 · sin(87,0417g) = +14,259 m; ΔYB = 14,56 · cos(87,0417g) = +2,943 m; XB = 314,26 m | YB = 402,94 m
• Vértice C: ΔXC = 19,96 · sin(236,1127g) = -10,725 m; ΔYC = 19,96 · cos(236,1127g) = -16,834 m; XC = 289,28 m | YC = 383,17 m

4. Cálculo de la superficie

A) Método de radiación (suma de triángulos):

Ángulos entre rayos de radiación:

• α (A-E-B) = 369,1530g - 244,9570g = 124,1960g
• β (B-E-C) = 118,2240g - 369,1530g + 400g = 149,0710g
• γ (C-E-A) = 244,9570g - 118,2240g = 126,7330g

Fórmula: S = ½ [ (DrA · DrB · sin α) + (DrB · DrC · sin β) + (DrC · DrA · sin γ) ]

S = ½ [ (15,79 · 14,56 · sin 124,1960g) + (14,56 · 19,96 · sin 149,0710g) + (19,96 · 15,79 · sin 126,7330g) ]
S = ½ [ 213,496 + 208,474 + 287,787 ] = 354,88 m²

B) Método de Sarrus (coordenadas absolutas):

Fórmula: S = ½ | (XA·YB + XB·YC + XC·YA) - (YA·XB + YB·XC + YC·XA) |

• Productos positivos = (291,299 · 402,943) + (314,259 · 383,166) + (289,275 · 413,176) = 357.311,7444
• Productos negativos = (413,176 · 314,259) + (402,943 · 289,275) + (383,166 · 291,299) = 358.021,4855

S = ½ | 357.311,7444 - 358.021,4855 | = ½ (709,7411) = 354,87 m²

5. Expresión en unidades agrarias:

• 0 Ha (hectáreas)
• 3 a (áreas)
• 54,88 ca (centiáreas)