Transferencia de calor transitoria en placas y sólidos semi-infinitos: ecuaciones y solución

Estudio de la Transferencia de Calor Transitoria en Geometrías Clásicas

1. Placa Infinita con Convección Transitoria

Se considera una placa plana de espesor finito ($2L$) e infinito en las otras dos dimensiones. Esta placa está sometida a convección con un fluido en ambas superficies.

1.1. Simplificación por Simetría

Dado que el entorno es idéntico en ambos lados, el problema es simétrico. Por lo tanto, realizaremos el estudio considerando solo la mitad del espesor, aislando el plano de simetría mediante una pared adiabática.

1.2. Desarrollo de la Solución

Partiendo de la ecuación de Biot-Fourier, se obtienen las siguientes integrales para la solución por separación de variables:

• Numerador: $\int \cos(\lambda_n x) dx = \frac{\sin(\lambda_n L)}{\lambda_n}$
• Denominador: $\int \cos^2(\lambda_n x) dx = \frac{\lambda_n L + \sin(\lambda_n L) \cos(\lambda_n L)}{2\lambda_n}$

El coeficiente $C_n$ se determina como:

$$C_n = \frac{2\Phi_0 \sin(\lambda_n L)}{\lambda_n L + \sin(\lambda_n L) \cos(\lambda_n L)}$$

Por tanto, la distribución de temperatura $\Phi(x, t)$ es:

$$\Phi(x,t) = 2\Phi_0 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(\lambda_n L) \cos(\lambda_n x) e^{-\lambda_n^2 \alpha t}}{\lambda_n L + \sin(\lambda_n L) \cos(\lambda_n L)}$$

1.3. Temperatura en el Centro y Número de Fourier

En el centro de la placa ($x=0$), la temperatura es $\Phi_c$:

$$\Phi_c = 2\Phi_0 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(\lambda_n L) e^{-\lambda_n^2 \alpha t}}{\lambda_n L + \sin(\lambda_n L) \cos(\lambda_n L)}$$

Definimos el Número de Fourier ($Fo$):

$$Fo = \frac{\alpha t}{L^2}, \quad \text{para } Fo \ge 0.2$$

Para $Fo \ge 0.2$, se puede tomar solo el primer término de la serie (error $< 5\%$).

1.4. Flujo de Calor y Calor Total

El flujo de calor $q(t)$ se calcula como $q(t) = -2KA \left(\frac{dT}{dx}\right)$. Usando $\Phi$ para la temperatura:

$$q(t) = -2KA \left(\frac{d\Phi}{dx}\right) \quad \text{para } x=L$$

El flujo de calor en la superficie ($x=L$) es:

$$q(t) = 4KA\Phi_0 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^2(\lambda_n L) \lambda_n e^{-\lambda_n^2 \alpha t}}{\lambda_n L + \sin(\lambda_n L) \cos(\lambda_n L)}$$

Para obtener el calor total transferido, integramos $q(t)$ respecto al tiempo:

$$Q(t) = \int q(t) dt = 4KA\Phi_0 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^2(\lambda_n L) (1 - e^{-\lambda_n^2 \alpha t})}{\lambda_n^2 \alpha (\lambda_n L + \sin(\lambda_n L) \cos(\lambda_n L))}$$

El calor total máximo teórico ($Q_0$) es:

$$Q_0 = m c_p (T_0 - T_f) = \rho V c_p (T_0 - T_f) = 2 L A \frac{K \Phi_0}{\alpha}$$

La razón del calor transferido es:

$$\frac{Q(t)}{Q_0} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^2(\lambda_n L) (1 - e^{-\lambda_n^2 \alpha t})}{\lambda_n L (\lambda_n L + \sin(\lambda_n L) \cos(\lambda_n L))}$$

Para $Fo \ge 0.2$, se puede aproximar con el primer término (error $< 5\%$).

2. Sólido Semi-Infinito en Régimen Transitorio

El sólido semi-infinito se extiende hacia el infinito en todas las direcciones excepto una, caracterizándose por una única superficie identificable. Si se impone un cambio súbito de condiciones en esta superficie, ocurrirá una conducción monodimensional dentro del sólido.

2.1. Aplicaciones y Modelo

Este modelo se utiliza para determinar la transferencia de calor transitoria cerca de la superficie terrestre o para aproximar la respuesta transitoria de un sólido finito muy grueso (como una pared gruesa).

Partiendo de la ecuación de Biot-Fourier, se obtiene la solución en función de la conducción de contorno en la superficie identificable.

2.2. Funciones Auxiliares

Se definen las siguientes funciones:

1. Función de Error de Gauss: $\text{erf}(u)$
2. Función de Error Complementaria: $\text{erfc}(u) = 1 - \text{erf}(u)$

2.3. Solución para Flujo de Calor Constante

Bajo la condición de flujo de calor constante ($q_0$) en la superficie ($x=0$):

$$\Phi(x,t) = \frac{2\sqrt{\alpha t} q_0}{K} \left( e^{-u^2/\sqrt{\pi}} - u \text{ erfc}(u) \right)$$

Donde $u = x / (2\sqrt{\alpha t})$.

2.4. Solución Generalizada (Convección en la Superficie)

Para una condición de frontera convectiva, la solución adimensionalizada es:

$$\frac{T - T_0}{T_f - T_0} = 1 - \text{erf}(u) - e^{\text{Bi}_x + \eta} \left( 1 - \text{erf}(u + \sqrt{\eta}) \right)$$

Donde se definen los parámetros:

• $\text{Bi}_x = \frac{h_c x}{K}$ (Número de Biot local)
• $\eta = \text{Bi}^2 \cdot Fo$
• $u = \frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}$