Transformación Geométrica de Inversión: Conceptos Fundamentales y Determinación

La Inversión Geométrica: Definición y Fundamentos

La inversión es una transformación geométrica en la que a una figura corresponde otra, y en la que se cumplen las siguientes propiedades fundamentales:

• Dos puntos inversos ($A$ y $A’$) están alineados con un punto fijo llamado Centro de Inversión ($O$).
• El producto de la distancia de un punto al Centro de Inversión por la distancia de su inverso al Centro de Inversión es constante ($K$), denominada Potencia de Inversión.

Matemáticamente, esto se expresa como:

$$OA \cdot OA’ = OB \cdot OB’ = OT \cdot OT’ = K$$

Características Clave de la Inversión

La inversión posee propiedades distintivas que definen su comportamiento en el plano:

1. Dos pares de puntos inversos no alineados forman siempre una circunferencia.
2. Dados dos puntos $A$, $B$ y sus inversos $A’$, $B’$, las rectas $A-A’$ y $B-B’$ son antiparalelas a las rectas $A-B$ y $A’-B’$.

El ángulo que forma la recta $A-A’$ con $A’-B’$ y con $A-B$ son iguales que los que forma la recta $B-B’$ con $A-B$ y con $A’-B’$ respectivamente.

La naturaleza de la inversión depende del valor de $K$:

• Si $K > 0$, la Inversión es positiva.
• Si $K < 0$, es negativa y, en este último caso, la Inversión no tiene puntos dobles.

Determinación de una Inversión

Una Inversión puede quedar determinada de tres maneras diferentes:

1. Dado el Centro de Inversión y un par de puntos inversos.
2. Dado el Centro de Inversión y la Potencia de Inversión ($K$).
3. Dados dos pares de puntos inversos no alineados.

Casos Prácticos de Construcción

1. Determinar el punto inverso ($B’$) conociendo el Centro de Inversión ($O$) y un par de puntos inversos ($A, A’$)

Para determinar el punto inverso $B’$ de un punto $B$:

1. Dibuje la circunferencia que pasa por $A$, $A’$ y $B$.
2. Para ello, trace las mediatrices de los segmentos $A-A’$ y $A-B$.
3. El punto de intersección de estas mediatrices es el centro de la circunferencia buscada.
4. Una $O$ con $B$ y el punto $B’$ se encontrará sobre dicha recta, cumpliendo la condición de potencia.

2. Determinar el punto inverso ($A’$) conociendo el Centro de Inversión ($O$) y la Potencia de Inversión ($OT$)

Para determinar el punto inverso $A’$ de un punto $A$, donde $T$ es un punto en la circunferencia de puntos dobles:

1. Dibuje una circunferencia con centro en $O$ y radio $OT$. Esta es la Circunferencia de Puntos Dobles.
2. Tome un punto $T$ cualquiera de dicha circunferencia.
3. Trace la mediatriz del segmento $A-T$ y la tangente a la circunferencia por $T$.
4. En la intersección de ambas rectas se encuentra el centro $C$ de una circunferencia de radio $C-T$ que contiene al inverso $A’$.
5. Una $O$ con $A$ para encontrar $A’$ sobre dicha circunferencia auxiliar.

3. Determinar el punto inverso ($D’$) dados dos pares de puntos inversos ($A, A’$ y $B, B’$)

Para determinar el punto inverso $D’$ de un punto $D$:

1. El Centro de Inversión ($O$) se encuentra en la intersección de las rectas $A-A’$ con $B-B’$.
2. Dibuje la circunferencia que pasa por los puntos $A$, $A’$ y $D$.
3. Una $O$ con $D$ y el punto $D’$ se encontrará sobre dicha circunferencia, cumpliendo la relación de potencia.