Transformaciones geométricas y elementos del triángulo: simetría, semejanza, Tales y escala
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Simetrías
Simetría axial (eje r)
Simetría axial de eje r: es un movimiento que transforma un punto P del plano en otro P' de forma que la recta r sea la mediatriz del segmento PP'.
Simetría central (centro C)
Simetría central de centro C: es un movimiento que transforma un punto P del plano en otro P' de forma que el punto C sea el punto medio del segmento PP'.
Elementos notables de un triángulo
Mediatrices
Las mediatrices de un triángulo: son las mediatrices de sus tres lados. Cada mediatriz es una recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio. Se cortan en el circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita.
Bisectrices
Las bisectrices de un triángulo: son las bisectrices de sus tres ángulos. Cada bisectriz es una recta que pasa por un vértice y divide el ángulo correspondiente en dos partes iguales. Se cortan en el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita.
Medianas
Las medianas de un triángulo: son las rectas que pasan por un vértice y por el punto medio de su lado opuesto. Se cortan en el baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo.
Alturas
Las alturas de un triángulo: son las rectas perpendiculares a cada lado que pasan por su vértice opuesto. Se cortan en el ortocentro.
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si los ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes son proporcionales. La constante de proporcionalidad es la razón de semejanza.
Criterios de semejanza
- Criterio 1: Tienen los 3 lados proporcionales.
- Criterio 2: Tienen 2 ángulos iguales.
- Criterio 3: Tienen 2 lados proporcionales y el ángulo que forman coincide.
Teorema de Tales
Teorema de Tales: Si dos rectas secantes son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos correspondientes determinados sobre las rectas secantes son proporcionales.
Si sobre dos secantes desde O se toman puntos A, B en una secante y A', B' en la otra, con rectas paralelas que cortan, se cumple:
OA / OB = OA' / OB' = AA' / BB' OA / OA' = OB / OB'
Dos triángulos están en posición de Tales si tienen un ángulo común y los lados opuestos a ese vértice son paralelos.
Dos triángulos en posición de Tales son semejantes, y dos triángulos semejantes siempre pueden colocarse en posición de Tales.
Representaciones a escala: mapas, planos y maquetas
Mapas: dibujos a escala que representan la superficie de la Tierra o una parte de ella.
Planos: representaciones gráficas a escala de un terreno, de una población, etc.
Maquetas: modelos tridimensionales, fabricados habitualmente en cartón, plástico, madera o metal, donde se reproduce a escala uno o varios objetos, como una escultura, una casa, etc.
La escala
La escala de un mapa, de un plano o de una maqueta indica la razón de semejanza que relaciona la distancia representada con la distancia real.
Escala = d representada / d real.