Trazados Geométricos Fundamentales: Polígonos y Bisectrices Paso a Paso

Construcciones Geométricas Fundamentales

Trazados de Rectas y Ángulos

Bisectriz de un Ángulo

La bisectriz es la recta que divide un ángulo en dos partes iguales.

1. Trazar un arco con centro en el vértice **O** y radio **r** (por ejemplo, r=10). Este arco corta los lados del ángulo en los puntos **1** y **2**.
2. Trazar un arco con centro en **1** y radio **r'** (igual a la distancia **O1**).
3. Trazar un arco con centro en **2** y radio **r''** (igual a la distancia **O2**). La intersección de estos dos arcos define el punto **3**.
4. Trazar una recta que pase por **O** y **3**. Esta es la **bisectriz**.

Mediatriz de un Segmento

La mediatriz es la recta perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio.

1. Trazar un arco con centro en el extremo **B** y radio **r** (cualquiera, pero mayor a la mitad del segmento **AB**).
2. Trazar un arco con centro en el extremo **A** y el mismo radio **r** anterior. Las intersecciones de estos arcos definen los puntos **1** y **2**.
3. Trazar una recta que pase por **1** y **2**. Esta es la **mediatriz**.

División del Ángulo de 90º en Tres Partes Iguales

1. Trazar un arco con centro en el vértice **O** y radio **r** (cualquiera). Este arco corta los lados del ángulo en los puntos **1** y **2**.
2. Trazar un arco con centro en **2** y radio **r** (el anterior).
3. Trazar un arco con centro en **1** y radio **r** (el anterior). Las intersecciones de estos arcos con el arco inicial definen los puntos **3** y **4**.
4. Trazar una recta que pase por **O** y **3**. Trazar otra recta que pase por **O** y **4**. Estas rectas dividen el ángulo en tres partes iguales (30º cada una).

Bisectriz de Dos Rectas que se Cortan

1. Dibujar un segmento auxiliar **AB**.
2. Trazar un arco con centro en **A** y radio **r** (igual a la distancia **A1**), obteniendo los puntos **1** y **2**. Repetir la misma operación con centro en el punto **B**, obteniendo los puntos **3** y **4**.
3. Trazar las bisectrices de los ángulos formados: **1AB**, **BA2**, **3BA** y **AB4**. Las intersecciones de estas bisectrices definen los puntos **5** y **6**.
4. Trazar una recta que pase por **5** y **6**.

Construcción de Polígonos Regulares a Partir del Lado

Triángulo Equilátero

1. Trazar un arco con centro en el vértice **A** y radio igual a la longitud del lado **AB**.
2. Trazar un arco con centro en el vértice **B** y el mismo radio. La intersección de ambos arcos define el vértice **C**.
3. Unir **A** con **C**, y **C** con **B**.

Cuadrado a Partir del Lado

1. Trazar una recta **perpendicular** al segmento **AB** que pase por el punto **A** (utilizando el método de la mediatriz o escuadra y cartabón).
2. Trazar un arco con centro en **A** y radio **AB**. Este arco corta la perpendicular en el punto **C**.
3. Trazar un arco con centro en **C** y radio **AB**.
4. Trazar un arco con centro en **B** y radio **AB**. La intersección de los arcos anteriores define el punto **D**.
5. Unir **C** con **D**, y **D** con **B**.

Pentágono Regular o Hexágono (Método General)

1. Trazar la **mediatriz** del segmento **AB**, definiendo el punto medio **M**.
2. Trazar una **perpendicular** al segmento **AB** que pase por **B**.
3. Trazar un arco con centro en **B** y radio **AB**, obteniendo el punto **1** sobre la perpendicular.
4. Trazar un arco con centro en **M** y radio **M1**, obteniendo el punto **2** sobre la prolongación de la mediatriz.
5. Trazar un arco con centro en **A** y radio **A2**, obteniendo el punto **C** (este punto es el centro de la circunferencia que inscribe el pentágono).
6. Trazar un arco con centro en **D** y radio **AB**. Trazar un arco con centro en **A** con el mismo radio. (Nota: El texto original parece incompleto o mezcla pasos. Estos pasos son típicos del método general para el pentágono.)

Hexágono Regular

1. Trazar un arco con centro en **A** y radio **AB**. Trazar un arco con centro en **B** y radio **AB**. La intersección de ambos arcos define el centro **1** del hexágono.
2. Trazar la circunferencia con centro en **1** y radio **AB**.
3. Desde los puntos de corte de la circunferencia con los arcos iniciales (**A** y **B**), y usando el radio **AB**, marcar sucesivamente los vértices **C**, **D**, **E** y **F**.
4. Unir todos los vértices.

Heptágono Regular (Método Aproximado)

1. Trazar la **mediatriz** del lado **AB**.
2. Trazar una **perpendicular** al lado **AB** que pase por **B**.
3. Trazar un ángulo de **30º** con vértice en **A**, obteniendo el punto **1** sobre la mediatriz.
4. Trazar un arco con centro en **A** y radio **A1**, obteniendo el punto **2**.
5. Trazar una circunferencia con centro en **2** y radio **2A**.
6. Llevar el segmento **AB** sucesivamente sobre la circunferencia para marcar los siete vértices.

Octógono Regular

1. Trazar la **mediatriz** del lado **AB**, definiendo el punto medio **M**.
2. Trazar un arco con centro en **M** y radio **AM**, obteniendo el punto **N** sobre la mediatriz.
3. Trazar un arco con centro en **N** y radio **NA**, obteniendo el punto **O** (centro del octógono).
4. Trazar una circunferencia con centro en **O** y radio **OA**.
5. Llevar el segmento **AB** sucesivamente sobre la circunferencia y unir los vértices.

Construcción de Polígonos Inscritos en una Circunferencia

Triángulo Equilátero Inscrito

1. Trazar un **diámetro vertical** que defina los puntos **A** y **1**.
2. Trazar un arco con centro en **1** y radio **1O** (radio de la circunferencia). Este arco corta la circunferencia en los puntos **C** y **B**.
3. Unir los puntos **A**, **C** y **B**.

Cuadrado Inscrito

1. Trazar un **diámetro vertical** que defina los puntos **A** y **B**.
2. Trazar un **diámetro perpendicular** al anterior (horizontal), definiendo los puntos **C** y **D**.
3. Unir los cuatro puntos.

Pentágono Regular Inscrito

1. Trazar un **diámetro vertical** que defina los puntos **A** y **1**.
2. Trazar un **diámetro perpendicular** al anterior, definiendo los puntos **3** y **2**.
3. Trazar la **mediatriz** del radio **O2**, definiendo el punto medio **M**.
4. Trazar un arco con centro en **M** y radio **MA**, obteniendo el punto **4** sobre el diámetro horizontal.
5. Trazar un arco con centro en **A** y radio **A4**. Este radio es la longitud del lado del pentágono (**AB**).
6. Llevar la longitud del lado **AB** sucesivamente sobre la circunferencia para marcar los cinco vértices.

Hexágono Regular Inscrito

1. Trazar un **diámetro vertical** que defina los puntos **A** y **B**.
2. Trazar un arco con centro en **B** y radio **OB** (radio de la circunferencia), obteniendo los puntos **C** y **D**.
3. Trazar un arco con centro en **A** y radio **AO** (radio de la circunferencia), obteniendo los puntos **E** y **F**.
4. Unir los seis puntos (**A, C, D, B, F, E**).

Heptágono Regular Inscrito (Método Aproximado)

1. Trazar un **diámetro vertical** que defina los puntos **A** y **B**.
2. Trazar un **diámetro perpendicular** que defina los puntos **R** y **S**.
3. Trazar un arco con centro en **S**, un arco con centro en **R**... (Nota: El texto original está incompleto. Generalmente, se usa la mitad del lado del triángulo inscrito como aproximación del lado del heptágono.)

Octógono Regular Inscrito

1. Trazar los **diámetros perpendiculares** (como en el cuadrado).
2. Trazar las **bisectrices** de los cuatro ángulos de 90º formados.
3. Unir los ocho puntos resultantes sobre la circunferencia.

Construcción de Polígonos Estrellados

Pentágono Estrellado

1. Construir el **pentágono regular inscrito**.
2. Unir el vértice **A** con los vértices **C** y **D**.
3. Unir el vértice **B** con el vértice **E**.
4. Unir el vértice **C** con el vértice **E**.
5. Unir el vértice **D** con el vértice **B**. (Nota: La secuencia de uniones debe formar la estrella de cinco puntas, saltando un vértice.)

Octógono Estrellado (Tipo 1: Paso 3)

1. Construir el **octógono regular inscrito**.
2. Unir **A** con **D** y **E**.
3. Unir **B** con **E** y **F**.
4. Unir **C** con **F** y **G**.
5. Unir **D** con **G** y **H**.
6. Unir **E** con **H** y **A**.
7. Unir **F** con **A** y **B**.
8. Unir **G** con **B** y **C**.
9. Unir **H** con **C** y **D**. (Nota: El texto original presentaba una secuencia confusa. Se ha reestructurado para describir la estrella de paso 3, uniendo vértices alternos.)

Octógono Estrellado (Tipo 2: Paso 2)

1. Construir el **octógono regular inscrito**.
2. Unir los vértices alternos para formar dos cuadrados superpuestos: el cuadrado **ACEG** y el cuadrado **FBDH**.