Triángulos: Teoremas Fundamentales y Propiedades Clave en Geometría

Triángulos Rectángulos: Teoremas Fundamentales

Teorema del Cateto

En un triángulo rectángulo, cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de aquel sobre esta.

Las fórmulas que lo representan son:

• b² = n · c
• a² = m · c

Donde:

• a y b son los catetos del triángulo rectángulo.
• c es la hipotenusa.
• m es la proyección del cateto a sobre la hipotenusa.
• n es la proyección del cateto b sobre la hipotenusa.

Teorema de la Altura

En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa es media proporcional de los dos segmentos en que aquella divide a esta.

La fórmula es:

• h² = m · n

Donde:

• h es la altura relativa a la hipotenusa.
• m y n son los dos segmentos en que la altura divide a la hipotenusa.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

La fórmula es:

• c² = a² + b²

Donde:

• c es la longitud de la hipotenusa.
• a y b son las longitudes de los catetos.

Conceptos Clave y Propiedades de los Triángulos

1. El ángulo exterior de cualquier triángulo es la suma de los dos ángulos interiores adyacentes. Falso (Es la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes).
2. La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es un ángulo llano (180º). Verdadero.
3. Los triángulos se clasifican en rectángulos, equiláteros e isósceles. Falso (La clasificación de los triángulos se realiza:
   • Según sus lados: equilátero, isósceles y escaleno.
   • Según sus ángulos: acutángulo, obtusángulo y rectángulo.
4. Los triángulos se clasifican en rectángulos, acutángulos y oblicuángulos. Falso (La clasificación es la misma que en el punto 3).
5. Un triángulo equilátero es forzosamente acutángulo. Verdadero (Todos sus ángulos miden 60º).
6. Un triángulo isósceles no puede ser nunca obtusángulo. Falso (Puede ser acutángulo, rectángulo u obtusángulo, dependiendo de sus ángulos).
7. Un triángulo escaleno puede tener solo dos ángulos iguales. Falso (Un triángulo escaleno tiene sus tres lados y sus tres ángulos desiguales).
8. Un triángulo rectángulo puede ser equilátero. Falso (Solo puede ser isósceles o escaleno, ya que un ángulo de 90º impide que todos los ángulos sean de 60º).
9. Un triángulo obtusángulo puede ser equilátero. Falso (Solo puede ser isósceles o escaleno, ya que un ángulo mayor de 90º impide que todos los ángulos sean de 60º).
10. La suma de cualesquiera dos lados de un triángulo es siempre: a) mayor b) menor c) mayor o igual que el otro lado.
11. La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180 grados.
12. En todo triángulo se cumple que a mayor lado, a) mayor b) menor es el ángulo opuesto.
13. Dos triángulos son iguales cuando tienen sus tres ángulos iguales. Falso (Para que dos triángulos sean congruentes (iguales), deben cumplir alguno de los criterios de congruencia, como tener sus tres lados correspondientes iguales (LLL), dos lados y el ángulo comprendido iguales (LAL), o un lado y los dos ángulos adyacentes iguales (ALA)).
14. Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y un ángulo. Falso (Se requieren al menos dos ángulos y un lado, o dos lados y el ángulo comprendido, o tres lados para la congruencia).
15. Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos ángulos y un lado. Verdadero (Este es el criterio de congruencia ALA o AAS).
16. Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres ángulos iguales. Verdadero (Este es el primer criterio de semejanza, AA o AAA).
17. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales. Verdadero (Este es el segundo criterio de semejanza, AA, que implica que el tercer ángulo también es igual).
18. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman. Verdadero (Este es el tercer criterio de semejanza, LAL de proporcionalidad).
19. En un triángulo, la altura sobre un lado tiene que ser a) mayor b) menor c) menor o igual que los otros dos lados.
20. Dos triángulos son semejantes cuando tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Verdadero (Si dos triángulos tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos, son congruentes. Los triángulos congruentes son un caso particular de triángulos semejantes, donde la razón de semejanza es 1:1).
21. La recta perpendicular a un lado en su punto medio se llama mediatriz.
22. El segmento perpendicular a un lado y que parte del vértice opuesto se llama altura.
23. La línea que está a la misma distancia de dos vértices de un triángulo se llama mediatriz.
24. El segmento que une un vértice de un triángulo con el punto medio de su lado opuesto se llama mediana.