Valoración de Bonos Bullet y Cupón Cero: Fórmulas y Casos Prácticos

Conversión de Tasas de Interés

Para ajustar la temporalidad de la tasa i y el periodo n al cupón, se utilizan las siguientes fórmulas:

• Achicar tasa: $j = (1 + i)^{1/n} - 1$
• Agrandar tasa: $j = (1 + i)^n - 1$

Nota: La temporalidad de i y n siempre deben ajustarse al periodo del cupón.

Criterios de Valoración y Mercado

La relación entre la TIR de mercado (colocación efectiva) y la tasa de emisión (cupón) determina el precio del instrumento:

• Bajo la par: TIR mercado > Tasa de emisión.
• Sobre la par: TIR mercado < Tasa de emisión.
• A la par: TIR mercado = Tasa de emisión.

Otros conceptos clave: Vitalicio equivale a perpetuo, y para un flujo Anticipado se debe multiplicar por $(1 + i)$.

Metodología para el Bono Bullet

Para valorar un Bono Bullet, siga estos pasos:

1. Calcular la cuota: Utilice la tasa de emisión (Principal * tasa de emisión).
2. Armar la línea de tiempo: Proyecte los flujos de caja.
3. Calcular el Valor Presente (VP): Traiga los flujos al presente utilizando la tasa de colocación para determinar el valor de compra.
4. Aplicar criterios: Verifique si el bono está a la par, sobre o bajo la par.

Ejemplo de Cálculo de Flujos

Si los flujos no son constantes, se puede estructurar de la siguiente manera: para un Principal de 400.000 en $t=0$, con cupones $C_1, C_2, C_3$ de 6.000 y un pago final en $t=4$ de $C_4 + ext{Principal}$ (6.000 + 400.000):

El VP con una tasa de colocación del 1% sería:
$VP = \frac{6.000}{(1 + 0,01)^1} + \frac{6.000}{(1 + 0,01)^2} + \frac{6.000}{(1 + 0,01)^3} + \frac{406.000}{(1 + 0,01)^4} = 407.803,93$

Aplicando la fórmula de anualidad: $6.000 \times \left[ \frac{1 - (1 + 0,01)^{-4}}{0,01} \right] + \frac{400.000}{(1 + 0,01)^4}$.

Caso Práctico: Bono de 10.000 UF

Bono emitido el 02-01-2014. Se analizan dos tipos: Bono 1 (Bullet) y Bono 2 (Cupón Cero), con periodos de valoración semestral a 5 años (10 semestres).

a) Determinación de la Tasa de Emisión y TIR

Si ambos fueron emitidos a la par y con tasas idénticas:

Bono Bullet

Dado que el Principal es 10.000 y el cupón (C) es 281,05:
$281,05 = 10.000 \times r_c \Rightarrow r_c = 0,028105$ (2,8105% semestral).
Al ser a la par, TIR = $r_c$ = 2,8105% semestral.

La tasa anual será: $TIR_{\text{anual}} = (1 + 0,028105)^2 - 1 = 0,057$ (5,7% anual).

Bono Cupón Cero

$ ext{Principal} = \frac{P + ext{Interés}}{(1 + r_c)^n} = \frac{10.000 + 3.193,05}{(1 + 0,028105)^{10}} = 10.000$.

b) Valor de Mercado al 15-01-2018

A esta fecha, restan 2 periodos semestrales para el vencimiento.

• Bono Cupón Cero (TIR 6,5% anual):
  Tasa semestral: $(1 + 0,065)^{1/2} - 1 = 0,03199$ (3,199%).
  $B_{c0} = \frac{10.000 + 3.193,95}{(1 + 0,03199)^2} = 12.388,65$.
• Bono Bullet (TIR 5,5% anual):
  Tasa semestral: $(1 + 0,055)^{1/2} - 1 = 0,02713$ (2,713%).
  $VP = \left( \frac{281,05}{0,02713} \right) \times [1 - (1 + 0,02713)^{-2}] + \frac{10.000}{(1 + 0,02713)^2} = 10.018,70$.

c) Negociación: ¿A la par, sobre o bajo la par?

Un bono se transa bajo la par si la TIR de emisión < TIR de mercado, y viceversa.

• El Bono Cupón Cero se transa bajo la par, ya que su tasa de emisión (5,7%) es menor a la TIR de mercado (6,5%).
• El Bono Bullet se transa sobre la par, ya que su tasa de emisión (5,7%) es mayor a la TIR de mercado (5,5%).