Valoración de Opciones Europeas: El Rol de la Cartera Libre de Riesgo en Black-Scholes

Fundamentos de la Construcción de Carteras y el Modelo Black-Scholes

Se parte de la construcción de una cartera compuesta por una opción y una cantidad variable de unidades de activo subyacente, constante dentro de cada intervalo de amplitud dt. Esta cartera está vigente solo durante cada intervalo de tiempo [t, t+dt), lo que se representa en la Ecuación (1).

Donde PI representa la cartera, V es una opción, y las demás variables corresponden a unidades de activo subyacente. Por lo tanto, el incremento del valor de la cartera a lo largo de dicho intervalo se traduce en la Ecuación (2).

Si sustituimos las expresiones para dV y dS en la Ecuación de dPI (Ecuación 3), y si aplicamos la condición de eliminación de la contribución aleatoria dX durante dt (Ecuación 4), logramos un estado sin incertidumbre.

La Hipótesis de Ausencia de Arbitraje

Este proceso se consigue a través de la hipótesis fundamental de ausencia de arbitraje. La valoración de opciones se fundamenta en la existencia de una cartera teórica, combinada entre bonos (activos libres de riesgo) y activos subyacentes (acciones), que presenta el mismo comportamiento que la opción a valuar. Por lo tanto, no podrían obtenerse resultados dispares, lo que eliminaría la posibilidad de arbitraje.

Es decir, la variación de una cantidad invertida en una cartera sin riesgo es idéntica a la de una cantidad invertida en un activo libre de riesgo. Ambas crecen al interés compuesto a la tasa instantánea r; de lo contrario, existiría una oportunidad de arbitraje (Ecuación 5).

La Ecuación en Derivadas Parciales de Black-Scholes (EDP)

Bajo estas premisas, la ecuación en derivadas parciales de Black-Scholes (EDP) será válida para cualquier contrato en el que la prima deba pagarse al principio y el derecho solo pueda ejercerse al vencimiento del mismo (es decir, para cualquier opción europea).

Esta EDP es lineal, de segundo orden y retrospectiva, lo que significa que puede resolverse hacia atrás en el tiempo. La validez de esta aproximación depende de haber ajustado el delta (Δ) del activo subyacente al principio del intervalo [t, t+dt). Por lo tanto, la cartera solo estará libre de riesgo (aproximadamente) durante dicho intervalo; cuanto menor sea dt, más precisa será esta afirmación.

Rebalanceo Continuo de la Cartera

Para asegurar que la cartera se mantenga libre de riesgo en el intervalo [t₀, T], es necesario recomponerla al principio de cada subintervalo [t, t + dt). Esto implica calcular la nueva posición Δ = ΔS, necesaria para mantener la igualdad de la EDP. Esto es el rebalanceo continuo de la cartera.

Resolución y Conclusión del Modelo Black-Scholes

Si conocemos el valor de la opción call al vencimiento, dado por la función de pago: C(S, T) = max(S - K, 0), donde S ≥ 0, y adjuntamos esta condición final a la ecuación en derivadas parciales, al ser retrospectiva, se puede calcular el valor de la opción hacia atrás en el tiempo (Ecuación 1).

Procediendo a la resolución del Problema de Valor Final (PVF), se obtiene la siguiente expresión, donde V(s) es el valor liquidativo (Ecuación 2).

Llegamos a la conclusión de que el modelo de Black-Scholes se corresponde con un caso paramétrico de una distribución log-normal, similar a la del precio del activo subyacente, pero sustituyendo la tasa de crecimiento (μ) por la tasa de interés libre de riesgo (r). La solución analítica de la EDP de Black-Scholes se puede expresar de la siguiente forma: C(S,t) = S N(d₁) .... Para resolver el Problema de Valor Final (PVF), también se puede plantear la paridad put-call.