Variables Aleatorias y Distribuciones Clave: Propiedades y Convergencia Estadística

Características variables aleatorias

Son valores que resumen la información contenida en la variable aleatoria X y su distribuición de probabilidad. Se clasifican en:

-Características de tendencia central: informan sobre donde está localizado el centro de la distribuicion de la probabilidad. Ej: media, mediana, moda

-Características de dispersión: informan de como es la distribuicion de los valores de la variable aleatoria. Ej: varianza, desviación típica, rango, cuartiles..

-Características de forma: informan sobre la forma de distribuicion de x. Ej: coeficiente de asimetría, curtois.

Propiedades matemáticas de E(x)

1)E(c)=c donde c es cte

2)E(x)>=0, si x>=0

3)E es un operador lineal: E(aX+b)=aE(x)+b,  a,b cte. X va

DIFERENCIAS Y Analogías DE B(n,p) y H(N,n1,n)

Binomial.  n: nº de repeticiones en las mismas condiciones

                    cada repetición éxito, fracaso

               p: probabilidad del éxito, constante para cada repetición 

Hipergeometrica. N: resultados extraídos (sin reemplazamiento)

   inicialmente p(A)=n1/N Va cambiando conforme se van extrayendo resultados

Si resulta que N>>>> n, n1 entonces P(b(n,p)=x)equivalente(=)p(H(N,n1,n)=x) siendo p=n1/N

u=np                       u=n*h1/N

o^2=np(1-p)           o^2=n* n1/N * n2/N * N-n/N-1

Características VA POISSON

1) Los sucesos deben ocurrir de manera independiente en cada unidad evaluada.

2) el nº de sucesos que ocurren tiene que ser independiente respecto de la unidad evaluada.

3)Es prácticamente imposible que puedan ocurrir multitud de sucesos por unidad

PROPIEDADES VA EXPONENCIAL

1) No tiene memoria; la probabilidad de sucesos futuros es independiente de lo que haya ocurrido con anterioridad.

2)Relación entre vaE(lamda) y la vaP(lamda): si los sucesos ocurren en el tiempo de acuerdo a una va Poisson, a razón de de lamda sucesos por unidad de tiempo, entonces el tiempo que transcurre entre 2 sucesos consecutivos se distribuye de acuerdo a una va Exponencial con el mismo valor lamda

TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE

No es un único teorema si no un conjunto de resultados: cualquier resultado que asegura que la distribuicion de probabilidad de una sucesión de variables aleatorias converge a una distribuicion normal, es un teorema central del limite.

1)Teorema de Moivre: una sucesión de variables aleatorias binomiales B(n,q), converge en distribuicion a una v.A Normal

                        [d]

B(n,p)——————————— N(np; √nqp)  

                     n→∞

Utilidad: p(Bn,p)=x)∿p(x-0.5≤N(np;√nqp)≤x+0.5)

              p(x1B(n,p)x2∿p(x1-0.5≤N(np;√npq)≤x2+0.5)

Critero valido para aplicar el teorema central del limite: np>5

2) La sucesión de variables aleatorias poisson P(lamda), para determinados valores de lamda, converge a una distribuicion de probabilidad normal.

                       [d]

P(lamda)———————N(lamda ; √ lamda)

                  lamda→∞

utilidad p(p(lamda)=x)∿p(x-0.5≤N(lamda, √lamda)≤x+0.5)

            p(x1≤p(lamda)≤x2)∿p(x1-0.5≤N(lamda, √lamda)≤x2+0.5

Criterio de uso: lamda>15