Vectores en el Plano: Fórmulas, Tipos y Ejercicios Resueltos

Conceptos Fundamentales de Vectores en el Plano

Un vector en el plano se define a partir de dos puntos, un origen A y un extremo B.

• Punto de origen: A = (a₁, a₂) = (x₁, y₁)
• Punto de extremo: B = (b₁, b₂) = (x₂, y₂)

El vector que une estos dos puntos se conoce como vector director AB y sus componentes son (v₁, v₂).

Tipos de Vectores

• Vectores Equipolentes: Son aquellos que tienen el mismo módulo, dirección y sentido.
• Vector Libre: Es el conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí. Se representa como v.
• Vectores Opuestos: Tienen el mismo módulo y dirección, pero sentido opuesto. Sus coordenadas son opuestas. Ejemplo: si u = (3, 2), su opuesto es v = (-3, -2).
• Vectores Paralelos (u || v): Tienen la misma dirección. Sus coordenadas son proporcionales. La condición es: u₁/v₁ = u₂/v₂. Ejemplo: u = (2, -3) y v = (4, -6) son paralelos porque 2/4 = -3/-6.
• Vectores Perpendiculares (u ⊥ v): Forman un ángulo de 90º entre sí. Su producto escalar es igual a cero. La condición es: u · v = u₁ · v₁ + u₂ · v₂ = 0. Ejemplo: u = (2, -3) y v = (6, 4) son perpendiculares porque u · v = 2·6 + (-3)·4 = 12 - 12 = 0.
• Vector Normal o Unitario: Es aquel cuyo módulo es igual a 1. La fórmula de su módulo es: |v| = √(v₁² + v₂²) = 1.
• Vector Nulo: Su módulo es 0. No tiene dirección ni sentido. Ejemplo: 0 = (0, 0).

Ejercicios Prácticos con Vectores

Ejercicio 1: Componentes de un Vector

Dados los puntos A(2, 2) y B(7, 4), calcularemos los elementos del vector AB.

Cálculo de Coordenadas

Fórmula: AB = (b₁ - a₁, b₂ - a₂) = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)

Ejemplo: AB = (7 - 2, 4 - 2) = (5, 2). Por lo tanto, v₁ = 5 y v₂ = 2.

Cálculo del Módulo

Fórmula: |v| = √(v₁² + v₂²)

Ejemplo: Con los datos del paso anterior, AB = (5, 2).
|AB| = √(5² + 2²) = √(25 + 4) = √29 ≈ 5.38

Cálculo del Argumento (Ángulo)

Fórmula: Ángulo (α) = arctan(v₂ / v₁)

Ejemplo: Ángulo = arctan(2 / 5) ≈ 21.8º

Cálculo de la Pendiente (m)

Fórmula: m = v₂ / v₁

Ejemplo: m = 2 / 5 = 0.4

Producto Escalar

Fórmula: u · v = u₁ · v₁ + u₂ · v₂

Ejemplo: Dados u = (1, 2) y v = (3, 5).
u · v = (1 · 3) + (2 · 5) = 3 + 10 = 13

Perímetro

El perímetro de una figura geométrica definida por vectores se calcula sumando los módulos de los vectores que forman sus lados.

Ejercicio 2: Ecuaciones de la Recta

A partir de un punto P(2, 3) y un vector director v(4, 1), encontraremos las ecuaciones de la recta.

Ecuación Vectorial

Fórmula: (x, y) = (x₁, y₁) + k · (v₁, v₂)

Ejemplo: (x, y) = (2, 3) + k · (4, 1)

Ecuaciones Paramétricas

Fórmulas:
x = x₁ + k · v₁
y = y₁ + k · v₂

Ejemplo:
x = 2 + k · 4 => x = 2 + 4k
y = 3 + k · 1 => y = 3 + k

Ecuación Continua

Se obtiene al despejar el parámetro 'k' en las ecuaciones paramétricas e igualar los resultados.

Despejando k:
De x = 2 + 4k => k = (x - 2) / 4
De y = 3 + k => k = (y - 3) / 1

Igualando: (x - 2) / 4 = (y - 3) / 1

Ecuación General o Implícita

Se obtiene a partir de la ecuación continua, eliminando denominadores y pasando todos los términos a un miembro.

Partiendo de: (x - 2) / 4 = (y - 3) / 1
1 · (x - 2) = 4 · (y - 3)
x - 2 = 4y - 12
x - 4y - 2 + 12 = 0
Resultado: x - 4y + 10 = 0

Ejercicio 3: Puntos y Distancias

Punto Medio de un Segmento

Fórmula: PM = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)

Ejemplo: Dados A(-3, 1) y B(2, 4).
PM = ((-3 + 2) / 2, (1 + 4) / 2) = (-1/2, 5/2)

Comprobación de Puntos Alineados

Para saber si tres puntos A, B y C están alineados, se comprueba si los vectores AB y BC son paralelos (sus coordenadas son proporcionales).

Fórmula: Si AB = v y BC = u, los puntos están alineados si v₁/u₁ = v₂/u₂.

Ejemplo: Dados A(2, 5), B(3, 10) y C(5, 20).
Vector AB = v = (3 - 2, 10 - 5) = (1, 5)
Vector BC = u = (5 - 3, 20 - 10) = (2, 10)
Comprobamos la proporcionalidad: 1/2 = 5/10. Como la igualdad se cumple, los puntos están alineados.

Distancia Entre Dos Puntos

La distancia entre dos puntos es el módulo del vector que los une.

Fórmula: d(A, B) = |AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Ejemplo: Dados A(2, 5) y B(3, 10).
Primero calculamos el vector AB = (3 - 2, 10 - 5) = (1, 5).
Luego calculamos su módulo: d(A, B) = √(1² + 5²) = √(1 + 25) = √26 ≈ 5.09