Anàlisi de Circuits AC: Ones, Fasors i Potència Elèctrica

1. Conceptes Fonamentals d'Ondes

• Ona Periòdica: Ens indica que es repeteix de manera regular en el temps.
• Ona Alterna: Ens assenyala que canvia de direcció i pren valors positius i negatius.
• Ona Sinusoïdal: Ens diu que aquests valors segueixen una variació de tipus sinusoïdal.

2. Desfasaments en Circuits AC

Distingim entre el desfasament inductiu (-90°) i el desfasament capacitiu (+90°).

3. Expressió Matemàtica del Fasor

Un fasor es pot expressar matemàticament de la següent manera:

400 ∠ 120°     --->     v(t) = 400 · 2 · sin(ωt + 120°)

5. Càlcul de la Intensitat en una Bobina Ideal

Apliquem una tensió alterna sinusoïdal de 230V, 50Hz, a una bobina ideal de coeficient d'autoinducció L=24mH. Trobeu la intensitat resultant:

Z_L = jX_L = j · 2 · π · 50 Hz · 24 · 10^-3 H = +j 7,53 Ω

I_L = U_L / Z_L = (230 ∠ 0°) / (7,53 ∠ +90°) = 30,54 ∠ -90° A

6. Càlcul del Corrent en una Reactància Inductiva Pura

Una reactància inductiva pura consumeix una potència reactiva de 2 KVAr quan se li aplica una tensió alterna sinusoïdal de 230V, 50Hz. Trobeu el corrent que consumeix:

I = S_L / U = 2000 VA / 230 V = 8,69 A

7. (Secció buida)

8. Anàlisi d'un Circuit RLC Sèrie als EUA

Als EUA trobem un circuit RLC sèrie format per R = 10 Ω, L = 40mH i C = 265 µF, alimentat a 110V, 60Hz. Calculeu: la impedància total, el corrent total, la tensió a les bornes de cada element, totes les potències i el factor de potència (FP).

Càlcul de Reactàncies i Resistència

X_C = 1 / (2 · π · f · C) = 1 / (2 · π · 60 Hz · 265 · 10^-6 F) = 10,009 Ω

X_L = 2 · π · f · L = 2 · π · 60 Hz · 40 · 10^-3 H = 15,07 Ω

R = 10 Ω

Càlcul de la Impedància Total (Z)

Z = R + j · (X_L - X_C) = 10 + j · (15,07 - 10,009) = 10 + j 5,061 Ω = 11,20 ∠ 26,84° Ω

Càlcul del Corrent Total (I)

I = E / Z = (110 ∠ 0°) / (11,20 ∠ 26,84°) = 9,82 ∠ -26,84° A

Càlcul de les Tensions als Elements

• U_R = I · R = (9,82 ∠ -26,84° A) · (10 ∠ 0° Ω) = 98,2 ∠ -26,84° V
• U_C = I · X_C = (9,82 ∠ -26,84° A) · (10,009 ∠ -90° Ω) = 98,28 ∠ -116,84° V
• U_L = I · X_L = (9,82 ∠ -26,84° A) · (15,07 ∠ +90° Ω) = 147,98 ∠ 63,16° V

Càlcul de les Potències

• P = R · I² = 10 Ω · (9,82 A)² = 964,32 W
• Q_C = X_C · I² = 10,009 Ω · (9,82 A)² = 965,19 VAr capacitius
• Q_L = X_L · I² = 15,07 Ω · (9,82 A)² = 1453,23 VAr inductius
• Q_Total = Q_L - Q_C = 1453,23 - 965,19 = 488,04 VAr
• S = P + jQ_Total = 964,32 + j488,04 VA = 1080,78 ∠ 26,84° VA
• S_E = U · I = 110 V · 9,82 A = 1080,2 VA

Càlcul del Factor de Potència (FP)

FP = cos(φ) = cos(26,84°) = 0,89

9. Càlcul de Potències i Corrent en una Indústria

Una indústria alimentada a 230V té les següents càrregues:

• a) Motobomba: 2 kW, cos φ = 0,7
• b) Enllumenat divers: 800 W, cos φ = 0,6
• c) Estufes: 4 kW

Càlcul de Potències Reactives Individuals

• Q_m = P_m · tan(φ_m) = 2000 W · tan(arccos(0,7)) = 2000 · 1,02 = 2040 VAr
• Q_LL = P_LL · tan(φ_LL) = 800 W · tan(arccos(0,6)) = 800 · 1,33 = 1064 VAr
• Q_e = 0 VAr (les estufes són càrregues resistives pures)

Càlcul de Potències Totals

• Q_T = Q_m + Q_LL + Q_e = 2040 + 1064 + 0 = 3104 VAr
• P_T = P_m + P_LL + P_e = 2000 + 800 + 4000 = 6800 W
• S = √(P_T² + Q_T²) = √(6800² + 3104²) = 7474,94 VA

Càlcul del Factor de Potència Total i Corrent

• FP_T = P_T / S = 6800 / 7474,94 = 0,90
• I = S / U = 7474,94 VA / 230 V = 32,49 A