Θεωρήματα Ευκλείδειας Γεωμετρίας: Πυθαγόρειο και Γενικευμένες Σχέσεις Τριγώνων

Θεωρήματα Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Θεώρημα Ι (Σχέσεις Ορθογωνίου Τριγώνου)

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω λοιπόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο $\text{AB\Gamma}$ και $\Delta$ η προβολή της κορυφής $\text{A}$ στην υποτείνουσα $\text{B\Gamma}$. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι:

• $\text{AB}^2 = \text{B\Gamma} \cdot \text{B\Delta}$
• $\text{A\Gamma}^2 = \text{B\Gamma} \cdot \text{\Gamma\Delta}$

Για την πρώτη σχέση αρκεί να αποδείξουμε ότι $\text{AB}/\text{B\Delta} = \text{B\Gamma}/\text{AB}$, δηλαδή ότι τα τρίγωνα $\text{AB\Gamma}$ και $\Delta\text{BA}$ είναι όμοια, το οποίο ισχύει αφού $\hat{\text{A}} = \hat{\Delta} = 1\text{∟}$ και η $\hat{\text{B}}$ είναι κοινή. Όμοια αποδεικνύεται και η σχέση $\text{A\Gamma}^2 = \text{B\Gamma} \cdot \text{\Gamma\Delta}$.

ΠΟΡΙΣΜΑ

Διαιρώντας τις $\text{AB}^2 = \text{B\Gamma} \cdot \text{B\Delta}$ και $\text{A\Gamma}^2 = \text{B\Gamma} \cdot \text{\Gamma\Delta}$ κατά μέλη προκύπτει το εξής:

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος με το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα.

Θεώρημα ΙΙ (Πυθαγόρειο)

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.

Απόδειξη

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι:

$$\text{AB}^2 + \text{A\Gamma}^2 = \text{B\Gamma}^2 \quad \text{ή} \quad \alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2$$

Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα έχουμε:

• $\text{AB}^2 = \text{B\Gamma} \cdot \text{B\Delta}$
• $\text{A\Gamma}^2 = \text{B\Gamma} \cdot \text{\Gamma\Delta}$

Με πρόσθεση των ισοτήτων κατά μέλη προκύπτει ότι :

$$\text{AB}^2 + \text{A\Gamma}^2 = \text{B\Gamma} \cdot \text{B\Delta} + \text{B\Gamma} \cdot \text{\Gamma\Delta} = \text{B\Gamma}(\text{B\Delta} + \text{\Gamma\Delta}) = \text{B\Gamma} \cdot \text{B\Gamma} = \text{B\Gamma}^2$$

Θεώρημα ΙV (Ύψος Ορθογωνίου Τριγώνου)

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω $\text{A\Delta}$ το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου $\text{AB\Gamma}$ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Θα αποδείξουμε ότι $\text{A\Delta}^2 = \text{B\Delta} \cdot \text{\Gamma\Delta}$.

Τα τρίγωνα $\text{AB\Delta}$ και $\text{\Gamma A\Delta}$ είναι όμοια, αφού είναι ορθογώνια και $\hat{\text{A}}_1 = \hat{\Gamma}$ ως συμπληρωματικές της $\hat{\text{B}}$. Επομένως, οι πλευρές τους είναι ανάλογες, δηλαδή $\text{A\Delta}/\text{B\Delta} = \text{\Gamma\Delta}/\text{A\Delta}$ οπότε $\text{A\Delta}^2 = \text{B\Delta} \cdot \text{\Gamma\Delta}$.

Γενικευμένα Θεωρήματα Τριγώνων (Νόμος των Συνημιτόνων)

Θεώρημα Ι (Τριγώνου με Οξεία Γωνία)

Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή.

Αν δηλαδή σε ένα τρίγωνο $\text{AB\Gamma}$ είναι π.χ. $\hat{\text{A}} < 1\text{∟}$ και $\text{A\Delta}$ η προβολή της πλευράς $\gamma$ πάνω στη $\beta$, τότε ισχύει ότι:

$$\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 - 2\beta \cdot \text{A\Delta}$$

Θεώρημα ΙΙ (Τριγώνου με Αμβλεία Γωνία)

Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αμβλεία γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, αυξημένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή.

Αν δηλαδή σε ένα τρίγωνο $\text{AB\Gamma}$ είναι π.χ. $\hat{\text{A}} > 1\text{∟}$ και $\text{A\Delta}$ η προβολή της πλευράς $\gamma$ πάνω στη $\beta$, τότε ισχύει:

$$\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 + 2\beta \cdot \text{A\Delta}.$$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ (Θεωρήματος ΙΙ)

Από τα ορθογώνια τρίγωνα $\Delta\text{B\Gamma}$ και $\Delta\text{BA}$, παίρνουμε αντίστοιχα:

• $\alpha^2 = \text{}\Delta\text{B}^2 + \text{}\Delta\text{\Gamma}^2$
• $\text{}\Delta\text{B}^2 = \gamma^2 - \text{A\Delta}^2$

Επειδή $\hat{\text{A}} > 1\text{∟}$, το $\Delta$ βρίσκεται στην προέκταση της $\text{\Gamma A}$ προς το $\text{A}$ και επομένως $\text{\Gamma\Delta} = \beta + \text{A\Delta}$ οπότε

$$\text{\Gamma\Delta}^2 = (\beta + \text{A\Delta})^2 = \beta^2 + \text{A\Delta}^2 + 2\beta \cdot \text{A\Delta}.$$

Με αντικατάσταση των σχέσεων $\text{}\Delta\text{B}^2 = \gamma^2 - \text{A\Delta}^2$ και $\text{\Gamma\Delta}^2 = (\beta + \text{A\Delta})^2 = \beta^2 + \text{A\Delta}^2 + 2\beta \cdot \text{A\Delta}$ στη σχέση $\alpha^2 = \text{}\Delta\text{B}^2 + \text{\Gamma\Delta}^2$, προκύπτει η ζητούμενη ισότητα:

$$\alpha^2 = (\gamma^2 - \text{A\Delta}^2) + (\beta^2 + \text{A\Delta}^2 + 2\beta \cdot \text{A\Delta}) = \beta^2 + \gamma^2 + 2\beta \cdot \text{A\Delta}.$$

ΠΟΡΙΣΜΑ (Σχέση Γωνίας και Πλευρών)

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα και τα προηγούμενα θεωρήματα Ι και ΙΙ προκύπτει άμεσα ότι σε κάθε τρίγωνο $\text{AB\Gamma}$ έχουμε :

1. $\alpha^2 > \beta^2 + \gamma^2$, αν και μόνο αν $\hat{\text{A}} > 1\text{∟}$ ,
2. $\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2$, αν και μόνο αν $\hat{\text{A}} = 1\text{∟}$ ,
3. $\alpha^2 < \beta^2 + \gamma^2$, αν και μόνο αν $\hat{\text{A}} < 1\text{∟}.$

Αποδεικνύεται όμως, με απαγωγή σε άτοπο ότι ισχύει και το αντίστροφο των (i), (ii), (iii). Πράγματι, αν π.χ. ισχύει $\alpha^2 < \beta^2 + \gamma^2$ δεν μπορεί να ισχύει $\hat{\text{A}} = 1\text{∟}$ ή $\hat{\text{A}} > 1\text{∟}$, γιατί τότε από τις (ii) και (iii) θα είχαμε $\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2$ ή $\alpha^2 > \beta^2 + \gamma^2$ αντιστοίχως, που είναι άτοπο, αφού $\alpha^2 < \beta^2 + \gamma^2$. Άρα $\hat{\text{A}} < 1\text{∟}$.

Όμοια αποδεικνύονται και οι άλλες περιπτώσεις.