Astrofysiska Beräkningar: Parallax, Magnitud och Teleskopets Utveckling

1. Objektets Hastighet och Dopplerförskjutning

Objektet rör sig mot oss med en hastighet på ungefär 1389 m/s. Detta indikerar att objektet är blåförskjutet.

2. Avståndet till Luytens Stjärna via Parallax

Formeln för att beräkna avståndet ($d$) i parsec ($pc$) med hjälp av parallax ($p$) i bågsekunder ($''$) är:

$d_{pc} = 1 / p$

Givet att parallaxen är $p = 0,2641269''$:

• Beräkning i parsec: $1 / 0,2641269 \approx 3,786$ pc.
• Omvandling till ljusår ($ly$): $3,786 \times 3,26 \approx 12,34$ ly.

Slutsats: Luytens stjärna är ungefär 12,34 ljusår bort.

3. Beräkning av Parallaxvinkel

Vi använder den omvända parallaxformeln:

$p = 1 / d_{pc}$

Givet avståndet $d = 4,5528$ pc:

• Parallax i bågsekunder: $1 / 4,5528 \approx 0,2196''$ (bågsekunder).
• Omvandling till grader: $0,2196 / 3600 \approx 0,000061°$.

Resultat: Parallaxen är ungefär 0,2196 bågsekunder, eller 0,000061 grader.

4. Avståndsmodul och Avstånd till Stjärna A

Vi använder formeln för avståndsmodulen ($m - M$):

$m - M = 5 \times \log_{10}(d) - 5$

Där $m = -3,08$ (skenbar magnitud) och $M = 5,31$ (absolut magnitud).

Beräkning av avstånd ($d$) i parsec:

1. Beräkna $m - M + 5$: $-3,08 - 5,31 + 5 = -3,39$.
2. Dela med 5: $-3,39 \div 5 = -0,678$.
3. Beräkna $d$: $d = 10^{-0,678} \approx 0,21$ pc.

Omvandling till ljusår:

$0,21 \times 3,26 \approx 0,68$ ly.

Slutsats: Stjärna A är ungefär 0,21 parsec eller 0,68 ljusår bort.

5. Beräkning av Absolut Magnitud ($M$)

Vi använder avståndsmodulformeln, där $m = 5,21$ och avståndet är $11,406$ ljusår.

Steg 1: Omvandla avstånd till parsec

$d_{pc} = 11,406 \div 3,26 \approx 3,50$ pc.

Steg 2: Sätt in värden i formeln $m - M = 5 \times \log_{10}(d) - 5$

$5,21 - M = 5 \times \log_{10}(3,50) - 5$

Steg 3: Beräkna höger sida

• $\log_{10}(3,50) \approx 0,544$
• $5 \times 0,544 = 2,72$
• $2,72 - 5 = -2,28$

Ekvationen blir: $5,21 - M = -2,28$

Steg 4: Lös ut M

$M = 5,21 + 2,28 = 7,49$

Resultat: Den absoluta magnituden är ungefär 7,49.

6. Historisk Utveckling av Teleskopet

Galileo Galilei (Refraktorteleskop)

Galilei förbättrade teleskopet genom att använda linser som förstorade bilden (ett refraktorteleskop). Han byggde ett eget instrument och kunde göra viktiga observationer, inklusive:

• Tydligare observationer av Månen och Solfläckar.
• Upptäckten av Jupiters månar.

Dessa upptäckter visade att allt inte kretsade kring Jorden, vilket starkt stödde den heliocentriska världsbilden.

Isaac Newton (Reflektorteleskop)

Newton utvecklade teleskopet ytterligare genom att använda speglar istället för linser. Denna design kallas ett reflektorteleskop. Fördelarna med Newtons design var:

• Skarpare bildkvalitet.
• Eliminering av kromatiska aberrationer (färgfel) som linser kunde ge.
• Enklare konstruktion och bättre bildkvalitet.

7. Algebraisk Härledning av Formeln för Absolut Magnitud

Utgångspunkten är formeln för avståndsmodulen:

$m - M = 5 \times \log_{10}(d) - 5$

Målet är att isolera den absoluta magnituden ($M$).

Steg för härledning:

1. Addera $M$ till båda sidor: $m = M + 5 \times \log_{10}(d) - 5$
2. Subtrahera $5 \times \log_{10}(d)$ från båda sidor: $m - 5 \times \log_{10}(d) = M - 5$
3. Addera $5$ till båda sidor: $m - 5 \times \log_{10}(d) + 5 = M$

Slutgiltig formel:

$M = m - 5 \log_{10}(d) + 5$

8. Jämförelse av Skenbar Ljusstyrka: Delta Pavonis vs. Solen

Steg 1: Beräkna avståndet till Delta Pavonis

Först omvandlas vinkeln (i grader) till bågsekunder ($as$):

• $p = 4,5542887 \times 10^{-5} \times 3600 \approx 0,16395$ as.
• Avstånd i parsec: $d = 1 \div 0,16395 \approx 6,10$ pc.

Steg 2: Beräkna skenbar magnitud ($m$) för Delta Pavonis

Vi använder formeln $M = m - 5 \log_{10}(d) + 5$. Givet $M = 4,62$:

• $4,62 = m - 5 \log_{10}(6,10) + 5$
• $5 \log_{10}(6,10) \approx 3,92$
• $4,62 = m - 3,92 + 5$
• $m = 4,62 - 1,08 = 3,54$

Steg 3: Jämförelse av ljusstyrka med Solen

Vi jämför den skenbara magnituden för Delta Pavonis ($m_{DP} = 3,54$) med Solens skenbara magnitud ($m_{Sol} = -26,74$). Intensitetsskillnaden ($I_{Sol} / I_{DP}$) ges av $2,512^{\Delta m}$:

$I_{Sol} / I_{DP} = 2,512^{(3,54 - (-26,74))} \approx 2,512^{30,28} \approx 1 \times 10^{12}$

Slutsats: Solen verkar ungefär en biljon (10¹²) gånger starkare än Delta Pavonis sett från Jorden.

9. Beräkning av Parallaxvinklar för Stjärna A och Stjärna B

A. Stjärna A: Avstånd och Parallax

Givet $m_A = 0,56$ och $M_A = 1,78$. Vi använder avståndsmodulen för att hitta avståndet ($d_A$):

$m_A - M_A = 5 \log_{10}(d_A) - 5$

1. $0,56 - 1,78 = -1,22$
2. $-1,22 = 5 \log_{10}(d_A) - 5$
3. $3,78 = 5 \log_{10}(d_A)$
4. $\log_{10}(d_A) = 0,756$
5. $d_A = 10^{0,756} \approx 5,7$ pc.

Parallaxvinkeln ($p_A$) är $p_A = 1 / d_A$:

$p_A = 1 \div 5,7 \approx 0,175$ bågsekunder.

B. Stjärna B: Skenbar Magnitud och Parallax

Vi använder sambandet mellan magnitudskillnad och intensitetsförhållande. Givet $M_B = 6,92$.

Intensitetsförhållandet ($I_A / I_B$) är $8,72 \cdot 10^{26} / 3,98 \cdot 10^{25} \approx 21,9$.

Beräkning av skenbar magnitud ($m_B$):

$m_B - m_A = -2,5 \log_{10}(I_A / I_B)$ (Använder den givna formelstrukturen)

1. $\log_{10}(21,9) \approx 1,34$
2. $m_B - 0,56 = -2,5 \times 1,34 \approx -3,35$
3. $m_B = 0,56 - 3,35 = -2,79$

Beräkning av avstånd ($d_B$) i parsec:

$m_B - M_B = 5 \log_{10}(d_B) - 5$

1. $-2,79 - 6,92 = -9,71$
2. $-9,71 = 5 \log_{10}(d_B) - 5$
3. $-4,71 = 5 \log_{10}(d_B)$
4. $\log_{10}(d_B) = -0,942$
5. $d_B = 10^{-0,942} \approx 0,114$ pc.

Parallaxvinkeln ($p_B$) är $p_B = 1 / d_B$:

$p_B = 1 \div 0,114 \approx 8,77$ bågsekunder.

Sammanfattning

Parallaxvinkeln för Stjärna A är ungefär 0,175 bågsekunder och för Stjärna B är den ungefär 8,77 bågsekunder.