Bernoulliren Teorema: Oinarriak eta Aplikazioak

Demagun korronte-hodi batean zehar zirkulatzen duen fluido ideal bat, irudiak erakusten duen bezala, eta har dezagun S₁ eta S₂ sekzioek mugatutako fluido-elementua. Denbora-tarte batean, dt, fluidoa desplazatu egiten da; aplika diezaiogun fluido-elementu horri energiaren teorema: fluido-elementuak jasaten dituen indarrek egindako lan erresultantea eta elementuaren energia zinetikoaren aldakuntza berdinak dira.

Indarrak eta Energia Aldakuntzak

Fluido-elementuak jasaten dituen indarrak bi motatakoak dira:

• a) Presio-indarrak: Presio-indarrek elementuari bi aldeetatik eragiten diote soilik, alegia, ezkerreko eta eskumako aldeetatik (gainontzeko hormek egindako indarrek ez dute lanik egiten, zeren, marruskadurarik ezean, desplazamenduarekiko perpendikularrak baitira); dei diezaiogun F₁ elementuak ezkerreko aldetik jasaten duen indarrari eta F₂ eskumako aldetik jasaten duenari. Ezkerreko aldean, F₁ indarrak egindako lana hau da: dW₁=F₁dl₁ eta eskumako aldean: dW₂=F₂dl₂. Fluidoa ezkerretik eskumara mugitzen ari bada, dW₁ positiboa izango da eta dW₂ negatiboa. Bestalde, hodiaren sekzioa nahikoa txikia bada, sekzio osoan presioa konstantetzat har daiteke, eta hortaz: F₁=P₁S₁ eta F₂=P₂S₂. Orduan, presio-indarrek egindako lan netoa honela adieraz daiteke: dW_p=dW₁-dW₂=P₁S₁dl₁-P₂S₂dl₂. Jarraitutasunaren ekuazioaren arabera, ezkerraldeko eta eskumako bolumenak berdinak izan behar dira, alegia: S₁dl₁ = S₂dl₂ = dV, beraz dW_p=(P₁-P₂)dV.
• b) Indar grabitatorioa: Grabitateak fluido-elementuari egindako lana, energia potentzialaren aldaketa gisa idatz daiteke (zeinua aldatuta). Hasierako posizioan, fluido-elementua bi zatitan bana daiteke: ezker muturreko dV elementua eta “erdialdeko” gainontzeko bolumena. Amaierako posizioan, fluido-elementua bi zatitan bana daiteke: “erdialdeko” bolumena eta eskuin muturreko dV bolumena. Erdialdeko elementuaren energia potentziala ez da aldatzen, aldiz, bi muturretako elementuena bai, eta batez besteko altuerez adieraz daitezke: h₁ eta h₂. Beraz: dW_g=-dE_p=-dmg(h₂-h₁) eta dm=ρdV ordezkatuz dW_g=-dE_p=ρdVg(h₁-h₂). Ohar bedi altueren diferentzian ordena aldatu dela.

Energia Zinetikoaren Aldakuntza eta Bernoulliren Ekuazioa

Azkenik, fluido-elementu osoaren energia zinetikoaren aldakuntza bitan bana daiteke: erdialdeko elementuaren energia zinetikoaren aldakuntza: dE_c=dm(v₂²-v₁²)/2 eta dm=ρdV ordezkatuz: dE_c=ρdV(v₂²-v₁²)/2.

Atal guztiak kalkulatu ondoren, berridatz dezagun energiaren teorema: dE_c=dW_g+dW_p

ρdV(v₂²-v₁²)/2 = ρdVg(h₁-h₂) + (P₁-P₂)dV

Atal guztietan, dV sinplifika daiteke, muturretako elementu diferentzialaren bolumena baita.

ρ(v₂²-v₁²)/2 = ρg(h₁-h₂) + P₁-P₂

Eta berrantolatuz:

P₁ + ρgh₁ + ρv₁²/2 = P₂ + ρgh₂ + ρv₂²/2

Baina, 1 eta 2 sekzioak edozein izan daitezkeenez:

P + ρgh + ρv²/2 = kte.

Ekuazio horri Bernoulliren teorema deritzo eta fluidoen dinamikaren oinarrizko ekuazioa da; bertan agertzen diren hiru terminoek bolumen unitateko energia edo lan kantitateak adierazten dituzte: presioa, energia potentzial grabitatorioa eta energia zinetikoa. Hemen, Bernoulliren teorema, korronte-lerro bereko bi punturen artean frogatu dugun arren, froga daiteke, baita ere, edozein korronte-hoditan, fluxu laminarra eta egonkorra bada, korronte-lerro guztietan konstantearen balioa bera dela. Frogapen horretan ez dugu kontuan hartu fluidoaren biskositatea, eta horrek, fluidoa jariatzen ari den bitartean, barne-marruskadura sor dezake eta energia-galerak eragin, baina ekuazio horretan termino bat gehitu daiteke energia-galera ere sartzeko. Fluidoen estatikaren oinarrizko ekuazioa ere Bernoulliren ekuazioaren kasu berezi gisa lortzen da, abiadurak nulutzat ezarrita.

Aplikazioak

Torricelliren Formula

Depositu edo andel ireki bat likidoz beteta badago eta azpialdean zulo bat baldin badauka, zein abiaduraz egingo du ihes likidoak zulo horretatik? Aplika dezagun Bernoulliren teorema, korronte horretako bi puntutan: bata, A, justu likidoaren gainazalean, eta bestea, B, justu zuloan bertan. B puntuaren altuera erreferentziatzat hartzen badugu:

P_atm + ρgh + ρv_A²/2 = P_atm + ρv_B²/2

ρ(v_A²-v_B²) = 2ρgh

Kontuan hartzen badugu A sekzioa askoz handiagoa dela B sekzioa baino, orduan, v_A abiadura arbuiagarria izango da v_B-ren aldean, eta ekuazioa honela sinplifikatzen da:

v_B = √(2gh)

Adierazpen horri Torricelliren formula deritzo eta erakusten du fluidoak zuloan daukan ihes-abiadura dela, A puntuaren altueratik erortzen den gorputz aske baten abiadura bera.