Bestämning av tyngdaccelerationen med matematisk pendel

1. Inledning och syfte

Syftet med laborationen är att undersöka hur svängningstiden T hos en matematisk pendel beror på pendelns längd l. Vidare ska vi använda mätdata för att bestämma ett experimentellt värde på tyngdaccelerationen g.

2. Teori

För en matematisk pendel med små utslagsvinklar gäller sambandet:

T = 2π · √(l/g)

Om vi skriver om detta som en potensfunktion y = a · x^b, där y = T och x = l, ser vi att:

T = (2π / √g) · l^0,5

Detta innebär att den teoretiska konstanten b bör vara 0,5 och konstanten a motsvarar 2π / √g.

3. Materiel och metod

Materiel

• Stativ
• Pendelkula med snöre
• Tidtagarur
• Linjal
• Geogebra för dataanalys

Utförande

1. Pendeln monterades i stativet.
2. Fem olika längder (l) mättes upp. För varje längd mättes svängningstiden (T).
3. Mätvärdena fördes in i Geogebra (Kalkylblad).
4. En regressionsanalys utfördes med potensfunktionen y = a · x^b för att hitta sambandet mellan längd och tid.

4. Resultat

Mätvärden

Mätserie 1–5 genomfördes enligt metodbeskrivningen.

Dataanalys

Genom funktionsanpassning i Geogebra erhölls följande funktion:

y = 2,2436 · x^0,8271

Här är a = 2,2436 och b = 0,8271.

5. Beräkning av tyngdaccelerationen g

Vi använder vårt värde på a för att lösa ut g:

√g = 2π / a → g = (2π / a)²

Med a = 2,2436:

g = (2π / 2,2436)² ≈ 7,843

Resultat: Det experimentella värdet beräknades till g ≈ 7,8 m/s².

6. Diskussion och felkällor

Vårt beräknade värde på g (7,8 m/s²) avviker från det teoretiska värdet (9,82 m/s²). Även vårt b-värde (0,8271) avviker från det teoretiska (0,5). Detta kan bero på följande felkällor:

• Reaktionsfel: Vid tidtagning med manuellt stoppur uppstår en fördröjning (ca 0,1–0,2 s), vilket ger stor påverkan på så korta mätserier.
• Mätmetod: Vi mätte endast en svängning per längd. För bättre precision bör man mäta 10 svängningar och dela den totala tiden med 10.
• Pendelns amplitud: Om pendeln släpptes med för stor vinkel gäller inte den enkla formeln för en matematisk pendel.
• Luftmotstånd: Luftens friktion kan ha bromsat kulan något, även om det är en mindre felkälla i detta sammanhang.
• Längdmätning: Det är svårt att mäta exakt till kulans tyngdpunkt, vilket kan ha gett felaktiga l-värden.