Bolzano-ren Teorema eta Ekuazioen Soluzioa

4. ariketa.

Bolzano-ren teoremak dio tarte itxi batean jarraitua den funtzio batek, tartearen muturretan aurkako zeinua duten balioak hartzen baditu, funtzioak OX ardatza ebaki egingo duela.

Beste hitz batzuekin, marra baten beheko aldetik goiko aldera edo goiko aldetik beheko aldera funtzio jarraitu batekin igarotzeko, marra ebaki egin behar.

Eta hori zelan esaten da matematikoki:

Grafikoki:

Orain, ekuazioaren soluzio baten bila goaz. Lehenengo Ruffini-ren erregelarekin abiatuko gara:

Erro osorik ez du. Har dezagun funtzioa eta ikus dezagun zein tartetan betetzen dituen Bolzanoren teoremaren hipotesiak.

f(x) jarraitua da, polinomikoa baita, orduan balio positibo bat zein puntutan hartzen duen eta balio negatibo bat zeinetan hartzen duen ikusi behar dugu:

f(0) = - 2 < 0; hortaz, erro bat [0,1] tartean dago, Bolzano-ren teoremaren arabera

Baina [0,1] tartearen zabalera unitate batekoa da eta ariketak 0.1-eko zabalerako tarte batean aurkitu behar dugula erroa esan digu.

Har dezagun tarte horretako puntu bat eta funtzioa ebaluatuko dugu puntu horretan:

f(0.5)= - 0.625

Baina tarte horren zabalera 0.5 unitatekoa da eta guk gehienez 0.1 zabalerako tartea behar dugu.

Har dezagun tarte horretako puntu bat 0.7 adibidez eta funtzioa ebaluatuko dugu puntu horretan:

f(0.7) = 0.149 > 0

Orduan, Bolzano-ren arabera, erroa [0.5;0.7] tartean dago, tarte horren muturretan zeinuz ezberdineko balioak hartzen dituelako.

Baina tartearen zabalera 0.7-0.5=0.2 da eta guk 0.1 izatea behar dugu.

Har dezagun tarte horretako puntu bat, 0.6 adibidez, eta ebalua dezagun funtzioa puntu horretan:

f(0.6)= - 0.272

Orduan, Bolzano-ren teoremaren arabera, erroa [0.6;0.7] tartean dago, tarte horren muturretan f(x) funtzio jarraituak zeinuz ezberdinak diren balioak hartzen dituelako.

Eta gainera, tartearen zabalera 0.7-0.6=0.1 denez, erroa [0.6;0.7] tartean dagoela esanez amaituko dugu ariketa.